Retarding Force
일반 물리까지는 역학에서 공기 저항을 고려하지 않았다. 이제는 공기 저항까지 포함하여 물체의 궤도를 계산하려 한다. 공기 저항이라고 썼지만, 일반적으로 물체가 받는 저항력을 retarding force, 혹은 drag force라고 부른다. 공기 저항도 이 중 한 종류이다.
일반적으로 공기 저항은 물체가 이동하는 속도에 비례하여 증가한다고 알려져 있다. 즉 공간 상에서 중력이나 탄성력과 같은 특별한 외력을 받지 않은 채 속도 $\dot{x}$으로 이동하는 물체에 대해 작용하는 저항력은 뉴턴 2법칙에 의해 다음과 같이 쓸 수 있다. $$\mathbf{F} = m\mathbf{\ddot{x}} = - mk\dot{x}^n \mathbf{\hat{\dot{x}}}$$ 이때 공기 중에서 비교적 작고 느린 입자($v < 24 m/s$)의 경우 $n=1$, 이보다는 빠르면서 음속($330 m/s$)보다 느린 경우 $n=2$로 둘 수 있음이 실험적으로 알려져 있다. 아래 그래프에서도 음속을 기준으로 그래프의 경향이 급격하게 바뀜을 확인할 수 있다.
1차원 직선 운동
$n=1$인 경우, 즉 다음의 운동 방정식을 풀어보자. $$m\ddot{x} = -mk\dot{x}$$ 이는 second-order linear homogeneous ODE이므로 auxiliary equation을 풀어서 일반해를 구할 수 있다. $$\ddot{x} + k\dot{x} = 0 \\ \Longrightarrow r^2 + kr = 0 \\ \Longrightarrow r_1 = 0, r_2 = -k \\ \Longrightarrow x(t) = A + Be^{-kt} \\ \text{ where } A, B \text{ are constants.}$$ 상수값을 결정해 주기 위해서 초기 조건을 적용해 주면 된다. $x(0) = x_0, \dot{x}(0) = v_0$라고 하면 $$x(0) = A+B = x_0, \dot{x}(0) = -kB = v_0 \\ \Longrightarrow A = x_0 + \frac{v_0}{k}, B = - \frac{v_0}{k} \\ \Longrightarrow x(t) = x_0 + \frac{v_0}{k} - \frac{v_0}{k} e^{-kt} \\ = x_0 + \frac{v_0}{k}(1 - e^{-kt})$$ 따라서 일반해를 구했고, 시간에 따른 물체의 위치는 위와 같이 기술된다.
1차원 자유 낙하 운동
이번엔 같은 물체가 $y$축 방향으로 던져져서 중력에 의해 자유낙하하는 상황에서 운동 방정식을 풀어보자. 운동 방정식은 다음과 같이 기술된다. $$m\ddot{y} = -mg - km\dot{y} \\ \Longrightarrow \ddot{y} + k\dot{y} = -g$$ 이는 second-order linear inhomogeneous ODE이므로 상수항 $-g$가 없는 경우의 해와 있는 경우의 해를 더해서 일반해를 구해야 한다. 상수항이 없는 경우의 해는 위에서 이미 구했다. 이를 $y_1$이라 하자. $$y_1(t) = A + Be^{-kt}$$ 이제 상수항이 있는 경우의 해를 구해야 하는데, 모양을 자세히 살펴보면 일차식이 답이 될 수 있음을 추측할 수 있다. 따라서 $y_2(t) = at + b$라고 두고 대입해 보자. $$\dot{y_2} = a, \ddot{y_2} = 0 \\ \Longrightarrow ka = -g, a = - \frac{g}{k} \\ y_2(t) = - \frac{g}{k}t + b$$ 이제 두 해를 더해서 일반해 $y$를 만들자. $y_1, y_2$ 모두 상수항을 포함하고 있으므로 합쳐서 $C = A + b$라고 두자. $$y(t) = C - \frac{g}{k}t + Be^{-kt}$$ 초기 조건을 적용해 상수값을 구해주면 다음과 같다. $$y(0) = y_0 = C + B, \dot{y}(0) = v_0 = -\frac{g}{k} -kB \\ \Longrightarrow B = - \frac{v_0}{k} + \frac{g}{k^2} = - \frac{kv_0 + g}{k^2}, \\ C = y_0 + \frac{kv_0 + g}{k^2} \\ \Longrightarrow y(t) = y_0 + \frac{kv_0 + g}{k^2} - \frac{g}{k}t - \frac{kv_0 + g}{k^2}e^{-kt} \\ = y_0 -\frac{g}{k}t + \frac{kv_0 + g}{k^2}(1 - e^{-kt})$$
종단 속도
이때 종단 속도(terminal velocity)라는 값을 구할 수 있는데, 종단 속도란 충분히 오랜 시간이 흘렀을 때 물체가 갖게 되는 속도이다. $$\lim_{t \to \infty} \dot{y} = -\frac{g}{k}$$이므로, 충분히 오랜 시간이 흐르면 물체는 $-\frac{g}{k}$라는 속도를 가지고 운동하게 된다. 결국 이 말은 더 이상 물체가 힘을 받지 않는다는 소리고, 따라서 $\ddot{y} = 0$인 조건을 적용해도 같은 답을 얻는다. 따라서 종단 속도를 구하는 문제에서 계산의 편의에 따라 첫 번째 조건과 두 번째 조건을 골라서 사용해도 무방하다.
포물선 운동
일차원 운동 말고도, 지면과 일정한 각도를 이룬채 어떠한 초기속도 값을 가지고 이차원 상에서 포물선을 그리며 운동하는 경우도 있을 것이다. 이런 경우 $x$축은 첫 번째 경우, $y$축은 두 번째 경우의 답과 정확히 일치한다. 따라서 시간에 따라서 2차원 평면 상에 물체의 위치를 그릴 수 있고, 그 경우 다음과 같이 그려진다.
이때 물체의 최대 비행 거리를 구하려면 $y=0$이 되는 시간 $T$를 구해서 대입해야 한다. $$y(T) = 0 = -\frac{g}{k}T + \frac{kv_0 + g}{k^2}(1 - e^{-kT}) (y_0 = 0)$$ 이때 일차식과 지수항이 함께 있으므로 수치적으로 풀거나 테일러 전개를 사용해서 근사해야 한다.
Figure 2에서 알 수 있듯이, 공기 저항을 고려한 경우와 그렇지 않은 경우는 이동 거리가 짧은 경우에는 오차가 크지 않지만 이동 거리가 커질 수록 그 차이는 점점 커진다.