Second-Order Linear Homogeneous Differential Equations
다음과 같은 2계 선형 동차 미분방정식이 있다고 하자. $$\ddot{x}+b\dot{x}+kx = 0$$ 이때 함수 $x = e^{rt}$가 이 방정식을 만족함이 알려져 있고, 대입하여 정리하면 다음과 같다. $$e^{rt}(r^2 + br + k) = 0$$ 따라서 $r^2+br+k = 0$이고, 이 방정식을 풀어서 $r$값을 결정해 주면 될 것이다. 이때 이러한 방정식을 auxiliary equation이라고 부른다. Auxiliary equation이 중근을 가지지 않는 한 $r$은 두 개의 값이 나오므로 함수 $x = e^{rt}$는 두 개의 형태를 가지는데, 미분은 선형 연산자이므로 두 형태의 선형 결합이 최종적인 미분방정식의 일반해이다.
$r^2+br+k = 0$을 근의 공식을 사용하여 풀어주면 다음과 같다. $$r = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4k}}{2}$$ 따라서 미분방정식의 일반해는 다음과 같다. $$x = c_1e^{r_1t} + c_2e^{r_2t}$$ 만약 중근을 가진다면 일반해는 다음과 같이 주어진다. $$x = c_1e^{rt} + c_2te^{rt}$$ 만약 $r^2+br+k$가 허근을 가질 때 미분방정식의 일반해는 어떻게 표현될지 알아보자. 이럴 때 auxiliary equation의 해는 $r = \alpha \pm i \beta$꼴로 표현되고, 각각의 부호에 대응시켜 $r_1, r_2$로 두자. 따라서 일반해는 다음과 같이 표현된다. $$x = c_1e^{(\alpha + i \beta)t} + c_2e^{(\alpha - i \beta)t} = e^{\alpha t}(c_1e^{i \beta t} + c_2 e^{-i \beta t}) \\ = e^{\alpha t} (c_1(\cos \beta t + i \sin \beta t) + c_2(\cos (-\beta t) + i \sin (-\beta t))) \\ = e^{\alpha t}((c_1 + c_2) \cos \beta t + i(c_1 - c_2) \sin \beta t) = e^{\alpha t}(A \cos \beta t + B \sin \beta t)$$ 여기서 $A := c_1 + c_2, B := i(c_1 - c_2)$라고 두었다. 이제 $\mu := \sqrt{A^2 + B^2}, \cos \delta = \frac{B}{\mu}, \sin \delta = \frac{A}{\mu}$라고 두자. 정리하면 다음과 같다. $$e^{\alpha t}(A \cos \beta t + B \sin \beta t) \\ = e^{\alpha t}(\mu \sin \delta \cos \beta t + \mu \cos \delta \sin \beta t) \\ = \mu e^{\alpha t} \sin (\delta + \beta t)$$ 따라서 결과를 요약하면 다음과 같다. $$x = \begin{cases} \text{real, unequal} & c_1e^{r_1 t} + c_2e^{r_2 t} \\ \text{real, equal} & c_1e^{rt} + c_2te^{rt} \\ \text{imaginary} & e^{\alpha t}(A \cos \beta t + B \sin \beta t) \text{ or } \mu e^{\alpha t} \sin (\delta + \beta t) \end{cases}$$
Second-Order Linear Inhomogeneous Differential Equations
Homogeneous의 경우 케이스에 따라서 일반해를 정확하게 구할 수 있지만, inhomogeneous는 그렇지 않다. Inhomogeneous 항이 어떤 모습이냐에 따라서 해가 전부 다르다. 이때 쉽게 해를 구할 수 있는 방법을 소개한다. 다음과 같은 방정식이 주어져 있다고 하자. $$\ddot{x} + b \dot{x} + kx = f(x)$$ 이때 방정식의 해는 $f(x) = 0$인 경우, 즉 homogeneous일 때의 해와 $f(x) \neq 0$일 때의 해를 더해도 여전히 해이므로, 일단 일반해는 이 두 경우의 해를 더한 값으로 주어진다. 그리고 inhomogeneous의 해는 $f(x)$와 "비슷한" 모양으로 주어진다. 즉 $f(x)$에 적당한 대수적 조작을 가해준 형태를 해로 추정해 주고 대입해 준 뒤 그 형태를 확정해 주면 답을 얻는다.