Newton's Law
Newton's Law.
(i) A body remains at rest or in uniform motion unless acted upon by a force.
(ii) A body acted upon by a force moves in such a manner that the time rate of change of momentum equals the force.
(iii) If two bodies exert forces on each other, these forces are equal in magnitude and opposite in direction.
모든 고전적인 물체는 뉴턴의 세 가지 운동 법칙을 따른다. 그러나 위의 세 문장만으로는 조금 부족한 감이 있는데, 아래에서 조금씩 부연 설명을 해보려고 한다.
1st Law
'힘'이란 물체의 운동상태를 변화하는 요인이다. 따라서 그 정의상 힘이 작용하지 않고 있다면 물체는 현재 운동상태를 그대로 유지할 것이고, 이를 뉴턴 1법칙, 다른 말로는 '관성의 법칙'이라고도 부른다. 어떠한 힘(정확히는 외부힘)도 받고 있지 않아서 정지 또는 일정한 운동을 하고 있는 물체를 자유 물체(free body), 혹은 자유 입자(free particle)라고 부른다.
2nd Law
2법칙은 힘이 구체적으로 어떻게 계산되는지 말해준다. 먼저 운동량(momentum) $p$1는 다음과 같이 정의된다. $$p = mv$$ m은 질량, v는 물체의 속도이다. 따라서 뉴턴 2법칙은 다음과 같이 표현된다. $$F = \frac{dp}{dt} = \frac{d(mv)}{dt}$$ 이때 질량이 변하지 않는다면 다음과 같이 계산된다. $$F = \frac{d(mv)}{dt} = m \frac{dv}{dt} = ma \\ \Longrightarrow F = ma$$ 여기서 a는 물체의 가속도이다. 따라서 흔히 알려진 공식 $F = ma$는 물체의 질량이 변하지 않는 상황에 국한해서 적용되는 뉴턴 2법칙이다. 이 경우 뉴턴 2법칙은 가속도를 포함하고 있으므로 '가속도의 법칙'이라고도 부른다.
3rd Law
3법칙은 일반적으로 성립하지 않고, 힘이 오직 '중심력'(Central Force), 즉 어떤 물체가 다른 물체에 미치는 힘이 그 사이를 잇는 직선의 방향을 향할 때만 성립한다. 중력, 정전기력, 탄성력 등은 모두 중심력이지만 속도에 의존하는 힘, 예컨대 공기저항 같은 경우는 중심력이 아니기 때문에 3법칙이 적용되지 않는다. 따라서 그 의미를 확실하게 하기 위해 3법칙을 새로 작성하면 다음과 같다.
(iii') If two bodies constitute an ideal, isolated system, then the accelerations of these bodies are always in opposite directions, and the ratio of the magnitudes of the accelerations is constant. This constant ratio is the inverse ratio of the masses of the bodies.
이 서술이 어떻게 작성되었는지 살펴보자. (iii)에 의하면 고립계를 구성하고 있는 물체 1과 2의 관계에 뉴턴 2법칙을 적용하면 다음과 같다. $$F_1 = -F_2 \\ = \frac{dp_1}{dt} = - \frac{dp_2}{dt} \\ = m_1 \frac{dv_1}{dt} = - m_2 \frac{dv_2}{dt} \\ = m_1a_1 = -m_2a_2 \\ \Longrightarrow \frac{m_2}{m_1} = - \frac{a_1}{a_2}$$ 따라서 뉴턴 3법칙으로부터 우리는 '질량이 무엇인지' 정의할 수 있다. 이렇게 정의되는 질량을 '관성 질량'(inertial mass)라고 부른다. 일반 상대성 이론의 근간이 되는 '등가 원리'는 관성 질량과 중력에 의해서 정의되는 '중력 질량'(gravitational mass)이 같다는 가정이다. 등가 원리는 실험적으로 오차 범위 $10^{-12}$ 내에서 성립함이 알려져 있다.
선운동량 보존 법칙
뉴턴 3법칙에 의해 익히 알고 있는 선운동량 보존 법칙을 유도해 낼 수 있다. 위 식을 다시 작성하면 다음과 같다. $$\frac{dp_1}{dt} = -\frac{dp_2}{dt} \\ \Longrightarrow \frac{d(p_1 + p_2)}{dt} = 0 \\ \Longrightarrow p_1 + p_2 = \text{constant.}$$ 따라서 고립계를 이루고 있는 두 물체의 상황에서 선운동량의 값은 보존된다.
- 뉴턴은 운동의 양(quantity of motion)이라는 용어를 사용했다 [본문으로]