훅의 법칙
1차원 평면에서 용수철에 매달려서 마찰 없이 진동하는 입자를 생각하자. 이때 평형점을 원점으로 하고 용수철이 입자에 작용하는 복원력 $F$를 변위 $x$만의 함수라고 하자. 이때 테일러 전개에 의해 다음이 성립한다. $$F(x) = F_0 + x \frac{dF}{dx} + \frac{x^2}{2} \frac{d^2F}{dx^2} + \cdots$$ $F_0$는 원점, 즉 평형점에서의 힘이므로 $0$이라고 가정하고, 일차항을 제외한 나머지 항을 무시한다면 $F(x) = x \frac{dF}{dx}$로 쓸 수 있고, 이때 $$-k = \frac{dF}{dx}$$로 둔다면 $$F(x) = -kx$$를 얻고, 이렇게 표현되는 복원력으로 기술되는 물리계는 훅의 법칙(Hooke's Law)을 따른다고 말한다. 훅의 법칙은 테일러 전개로 얻어졌기 때문에 변위가 작을 때만 근사적으로 성립한다. $k$는 용수철 상수로 부른다.
Simple Harmonic Oscillator
훅의 법칙을 따르는 물리계의 운동 방정식을 풀어보자. $$m \ddot{x} = -kx \\ \Longrightarrow \ddot{x} + w^2_0x = 0$$ 이때 $$w^2_0 = \frac{k}{m}$$이고 $w_0$는 사실상 각진동수다. 이 방정식은 second-order linear homogeneous ODE이므로 특성방정식을 풀어서 일반해를 구할 수 있다. $$r^2 + w^2_0 = 0 \\ \Longrightarrow r = \pm iw_0 \\ \Longrightarrow x(t) = A\cos w_0t + B \sin w_0t \\ \text{ or } A \sin(w_0t + \delta)$$ 이때 에너지를 구해보면 다음과 같다. $$T = \frac{1}{2}kA^2 \cos^2(w_0t + \delta) \\ U = \frac{1}{2}kA^2\sin^2(w_0t + \delta) \\ E = T + U = \frac{1}{2}kA^2$$ 따라서 전체 에너지는 용수철 상수 $k$와 진폭 $A$에만 관계됨을 알 수 있다.
1차원에 국한해서 구했지만, 2차원과 3차원에서도 각 변수 $x, y, z$가 분리 가능하기 때문에 $$F_x = -kx, \\ F_y = -ky, \\ F_z = -kz$$와 같은 식으로 적어서 각각에 대해 해를 구해줌으로써 방정식을 풀 수 있다. 2차원으로 해를 구해보면 다음과 같다. $$x(t) = A \cos(w_0t - \alpha) \\ y(t) = B \cos (w_0 t - \beta)$$ 이때 $\delta = \alpha - \beta$로 두고서 시간 $t$를 소거해주면 다음과 같다. $$y = \frac{B}{A} x \cos \delta - B \sqrt{1 - \left( \frac{x^2}{A^2} \right)} \sin \delta$$ 정리하면 다음과 같다. $$B^2 x^2 - 2ABxy \cos \delta + A^2 y^2 = A^2 B^2 \sin^2 \delta$$ 따라서 $\delta$ 값에 따라서 물체의 궤도가 달라진다. 그 중 하나의 예로 $\delta = \pm \frac{\pi}{2}$이고 진폭이 같다면, 즉 $A = B$라면 이 방정식은 원의 방정식이 되므로 물체는 원 궤도를 따라서 움직이게 된다. 이 궤도를 일반적으로 나타낸 곡선을 '리사주 곡선'(Lissajous curve)이라고 부른다.
감쇠진동
Simple harmonic oscillator와는 달리, 일반적인 상황에서는 마찰이나 공기 저항과 같은 저항력이 존재해서 물체가 같은 진폭으로 계속 진동하는 상황이 일어나지 않는다. 이를 '감쇠진동'(damping oscillation)이라고 부른다. 감쇠진동의 운동 방정식은 다음과 같다. $$m\ddot{x} = -b\dot{x} - kx \\ \Longrightarrow \ddot{x} + 2\beta \dot{x} + w^2_0 x = 0$$ 이때 $\beta = \frac{b}{2m}$이고 이 값을 감쇠 계수(damping parameter)라고 부른다. 즉 질량에 비해 저항력이 얼마나 강한지를 나타내 주는 값이다. 이 방정식은 second-order linear homogeneous ODE이고, auxiliary equation을 풀어서 일반해를 구해줄 수 있다. $2\beta$로 적어준 이유는 일반해의 형태를 깔끔하게 맞춰주기 위해서이다. Auxiliary equation을 풀면 해는 다음과 같이 주어진다. $$r = - \beta \pm \sqrt{\beta^2 - w^2_0}$$ 따라서 일반해는 다음과 같다. $$x = e^{-\beta t}(Ae^{\sqrt{\beta^2 - w^2_0}} + Be^{- \sqrt{\beta^2 - w^2_0}})$$ 이때 경우의 수는 $$\beta^2 < w^2_0, \\ \beta^2 = w^2_0, \\ \beta^2 > w^2_0$$과 같이 세 가지로 나뉜다. 이때 각각의 경우를 과소감쇠(underdamping), 임계감쇠(critiacal damping), 과대감쇠(overdamping)라고 부른다.
Underdamping
Underdamping, 즉 과소감쇠는 $w^2_0 > \beta^2$인 상황이다. 다시 말해 각진동수가 감쇠계수보다 큰 상황이고 임계감쇠나 과대감쇠에 비해 상대적으로 진폭이 천천히 줄어든다. 이때 운동방정식의 auxiliary equation의 해는 복소수로 주어지고, 일반해는 다음과 같다. $$x(t) = e^{-\beta t}(Ae^{\sqrt{\beta^2 - w^2_0}t} + Be^{-\sqrt{\beta^2 - w^2_0}t}) \\ \text{ or } Ce^{-\beta t} \cos (w_1 t + \delta)$$ 이때 $$w^2_1 := w^2_0 - \beta^2$$로 두었다. 즉 underdamping하는 조화 진동자는 $w_1$의 각진동수로 진동하는 셈이다. 그리고 $e^{-\beta t}$의 항 때문에 시간이 오래 흐르면 진폭은 0으로 수렴하고, 그 모양은 정확히 포락선의 역할을 하는 $e^{-\beta t}$을 따라간다. 그리고 underdamping의 경우 주기가 일반적인 진동보다 더 길어진다.
Overdamping
Overdamping, 즉 과대감쇠는 $w^2_0 < \beta^2$인 상황이다. 즉 각진동수가 감쇠계수보다 작은 상황이고, 조화 진동자는 underdamping보다 더 빠르게 감소한다. Underdamping이 일반적인 진동을 하되 진폭이 점점 줄어들었다면, overdamping은 진동을 하지 않고 서서히 감소한다. 즉 평형점을 지나지 않는다. 이때 일반해는 다음과 같이 주어진다. $$x(t) = e^{-\beta t}(A e^{\sqrt{\beta^2 - w^2_0}t} + B e^{- \sqrt{\beta^2 - w^2_0}t})$$ 비슷한 방식으로 $$w^2_2 = \beta^2 - w^2_0$$으로 정의하면 일반해는 다음과 같다. $$x(t) = e^{-\beta t}(Ae^{w_2 t} + Be^{-w_2 t})$$ 즉 underdamping과는 달리 일반해가 지수함수의 조합이므로 평형점을 왔다 갔다 하는 진동을 보이지 않는다. 그러나 초기 조건을 적당히 선택해 주면 평형점 "한번" 지나는 진동을 할 수도 있다.
Critical Damping
Critical damping, 즉 임계감쇠는 $w^2_0 = \beta^2$인 상황이다. 이는 운동방정식의 auxiliary equation이 중근을 갖는 경우이고, 일반해는 다음과 같이 주어진다. $$x(t) = (A+Bt)e^{-\beta t}$$ 특이한 점은 critical damping이 overdamping보다 더 빠르게 감소한다는 점이다. 이는 overdamping에는 증가하는 지수함수가 있기 때문이다.