강제진동
감쇠진동에서는 조화 진동자의 상황에서 속도에 비례하는 어떤 저항력이 있어서 점차 진폭이 작아지며 진동하거나, 빠른 시간 내에 평형점으로 수렴하는 경우를 살펴보았다. 그런데 저항력이 감소시키는 만큼 어떤 외력이 조화 진동자에 작용해서 저항력이 있음에도 불구하고 일정한 진폭을 유지한채 진동을 시키는 경우를 생각해 볼 수 있다. 이런 경우를 강제진동이라고 부르고, 그 중 외력이 사인형에 해당하는 사인형 구동력을 살펴보자. 이때 운동방정식은 다음과 같이 주어진다. $$m \ddot{x} = -b \dot{x} - kx + F_0 \cos wt \\ \Longrightarrow \ddot{x} + 2\beta \dot{x} + w^2_0 x = A \cos wt$$ 감쇠진동에서 살펴보았듯이 $2 \beta \dot{x}$항은 저항력에 해당하고, $w^2_0 x$항은 훅의 법칙에 해당하는 항이다. 그리고 외력은 $A \cos wt$로 주어져 있는데, 이 항이 코사인이 아니고 예컨대 $-g$와 같은 상수면 사실상 수직으로 매달려 있는 용수철에 중력이 작용하는 상황이고, 이때의 답은 쉽게 구할 수 있다. 그러나 여기서는 코사인이므로 second-order linear inhomogeneous ODE이고 해는 위상차를 감안한 코사인, 즉 $\cos (wt - \delta)$와 같은 형태로 주어진다. 그리고 homogeneous인 경우의 해도 더해서 일반해가 얻어지는데, 시간이 충분히 흐르면 homogeneous에 해당하는 해는 0으로 수렴한다. 즉 damping에 해당하는 해는 없어지기 때문에 마지막까지 남는 항은 강제진동에 해당하는 해라고 할 수 있다.
아무튼, 일반해를 열심히 계산하면 위상차 $\delta$는 다음과 같이 주어진다. $$\tan \delta = \frac{2w\beta}{w^2_0 - w^2} \\ \Longrightarrow \delta = \tan^{-1} \left( \frac{2w\beta}{w^2_0 - w^2} \right)$$ 즉 $\delta$가 0이 아니라는 뜻이고, 이는 실제로 사인형 외력이 작용하고 $\delta$에 해당하는 정도의 시간이 흘러야만 주어진 system에 응답이 온다는 뜻이다.
그런데 실제 자연계에서 사인형으로 외력이 작용하는 상황을 찾기란 쉽지 않다. 때문에 위에서 구한 값이 실험적으로 얼마나 실재계와 일치하는지 확인하기란 매우 어려운데, 이 상황을 회로에 적용하면 대체적으로나마 확인할 수 있다.