Linear Combination and Span

Linear combination

Definition 1. Let $\emptyset \neq S \subseteq V$. A vector $v \in V$ is called a linear combination of vectors of $S$ if $\exists$ $u_1, u_2, ..., u_n \in S$ and $a_1, a_2, ..., a_n \in F$ such that $$v = \sum_{i=1}^{n} a_iu_i.$$

    쉽게 말해 벡터 $v$를 적당히 다른 벡터들의 합으로 표현할 수 있다면, 이때 $v$를 linear combination이라고 한다.

Note. Since $0v = \mathbf{0}, \forall v \in S$, $\mathbf{0}$ is a linear combination of $S \subseteq V$.

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Span

Definition 2. Let $\emptyset \neq S \subseteq V$. The span of $S$, denoted <$S$> (or span($S$)), is the set consisting of all linear combinations of the vectors in $S$.
For convenience, we define <$\emptyset$> := $\{ \mathbf{0} \}$.

    즉 $S$의 벡터들로 만들 수 있는 모든 linear combination의 집합을 $S$의 span이라고 부른다. 이때 어떤 집합의 span은 항상 그 집합을 포함한다. (($\because) v = 1 \cdot v, \forall v \in S$)

Note. $\forall S \subseteq V$, $S \subseteq$ <$S$>.

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Generate

Definitions 3. We say that $S \subseteq V$ generates (or spans) $V$ if <$S$> = $V$. In this case, we also say that the vectors of $S$ generate (or span) $V$.

    $S$의 span이 전체 벡터 공간 $V$와 같은 경우, $S$는 $V$를 생성한다고 말한다.

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Theorem 1

Theorem 1. Let $\emptyset \neq S \subseteq V$. Then
(1) <$S$> $\leq V$,
(2) If $S \subseteq W \leq V$, then <$S$> $\leq W$.

    즉 <$S$>는 그 자체로 $V$의 subspace이며, 동시에 $S$를 포함하는 "가장 작은" subspace임을 알 수 있다. 따라서 임의의 subspace of $V$가 $S$를 포함한다면, <$S$> 또한 반드시 포함하게 된다. 증명은 다음과 같다.

Proof. 
(1) Let $x, y \in $<$S$>. Then $\exists a_i \in F, v_i \in S (i = 1, ..., n)$ and $b_j \in F, u_j \in S(j = 1, ..., m)$ such that $x = \sum a_iv_i$ and $y = \sum b_jv_j$.
$\Longrightarrow$ $cx + y \in$ <$S$>. Thus <$S$> $\leq V$.
(2) $\forall x \in $<$S$>, $x = \sum a_iv_i$ for some $a_i \in F, v_i \in S (i = 1, ..., n)$. Since each $v_i \in W$, $x \in W$. Thus <$S$> $\subseteq W$. $\blacksquare$

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Theorem 2

    임의의 집합 $S \subseteq V$에 대해서 $S \subseteq$<$S$>임을 살펴보았다. 이때 포함관계가 반대로 성립할 조건, 즉 $S = $<$S$>일 조건을 다음의 정리가 제시해 준다.

Theorem 2. Let $S \neq \emptyset$. Then $S \leq V$ $\Longleftrightarrow$ $S =$ <$S$>. 

    $S$가 $V$의 subspace일 조건은 $S$가 덧셈에 대해 닫혀있음을 보장해준다. 증명은 다음과 같다.

Proof.
($\Longrightarrow$) Let $v \in$ <$S$>. Then $v = \sum a_iv_i$ where $a_i \in F, w_i \in S$. Since $S$ is a vector space, $v \in S$. Hence <$S$> $\subseteq S$. Clearly, $S \subseteq$ <$S$>. Thus $S$ = <$S$>.

($\Longleftarrow$) Let $u, v \in S$ and $c \in F$. Since $S = $<$S$>, we can write $u, v$ as $u = \sum a_iu_i$ and $v = \sum b_jv_j$, where $a_i, b_j \in F$ and $u_i, v_j \in S$. Then $$\begin{align*} cu + v = c \sum a_iu_i + \sum b_jv_j \in <S> = S \end{align*}$$
Hence $S \leq V$. $\blacksquare$

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Theorem 3

Theorem 3. Let $S_1, S_2 \subseteq V$. Then the following statements hold: 
(a) If $S_1 \subseteq S_2$, then <$S_1$> $\subseteq$ <$S_2$>. 
(b) <$S_1 \cup S_2$> = <$S_1$> + <$S_2$>.
(c) <$S_1 \cap S_2$> $\subseteq$ <$S_1$> $\cap$ <$S_2$>.

Proof. 
(a) Let $x \in$ <$S_1$>. Then $x = \sum a_iv_i$ for $a_i \in F, v_i \in S_1$. Since $S_1 \subseteq S_2$, $x \in $<$S_2$>. Hence <$S_1$> $\subseteq$ <$S_2$>.

(b) Let $u \in$ <$S_1 \cup S_2$>. Then $u = \sum a_iu_i$ for $a_i \in F, u_i \in S_1 \cup S_2$. Since each $u_i \in S_1 \cup S_2$, we can rewrite $u$ as $u = a_iu_i = a_jx_j + a_ky_k$ where $x_j \in S_1, y_k \in S_2$. Then $v \in$ <$S_1$> + <$S_2$>, i.e., <$S_1 \cup S_2$> $\subseteq$ <$S_1$> + <$S_2$>. The converse can be shown in similar manner.

(c) Let $u \in$ <$S_1 \cap S_2$>. Then $u = \sum a_iu_i$ for $a_i \in F, u_i \in S_1 \cap S_2$. Since $u_i \in S_1 \wedge u_i \in S_2$, $u \in$ <$S_1$> $\wedge$ $u \in$ <$S_2$>. Thus $u \in$ <$S_1$> $\cap$ <$S_2$>. $\blacksquare$

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Reference is here: https://product.kyobobook.co.kr/detail/S000003155051

Linear Algebra | Stephen Friedberg - 교보문고