rank($AB$) $\leq$ rank($A$), rank($B$)

Theorem 1

Theorem 1. Let $T \in \mathcal{L}(V, W)$ and $U \in \mathcal{L}(W, Z)$ where $V, W$ and $Z$ are finite-dimensional vector space, and let $A, B$ be matrices such that $AB$ is defined. Then
(a) rank$(UT) \leq$ rank($U$),
(b) rank$(UT) \leq$ rank($T$),
(c) rank$(AB) \leq$ rank($A$),
(d) rank$(AB) \leq$ rank($B$).

Proof.
Let $A = [U]_{\beta}^{\gamma}, B = [T]_{\alpha}^{\beta}$, where $\alpha, \beta$ and $\gamma$ are ordered bases for $V, W$ and $Z$.
(a) Note that R($UT$) = $UT(V)$ = $U$(R($T$)) $\subseteq$ $U(W)$ = R($U$).
$\Longrightarrow$ rank($UT$) = dim(R($UT$)) $\leq$ dim(R($U$)) = rank($U$).
(c) rank($AB$) = rank($L_AL_B$) $\leq$ rank($L_A$) = rank($A$) by (a).
(d) rank($AB$) = rank($B^tA^t$) $\leq$ rank($B^t$) = rank($B$) by (c).
(b) rank($UT$) = rank($[UT]_{\alpha}^{\gamma}$) = rank($[U]_{\beta}^{\gamma}[T]_{\alpha}^{\beta}$) = rank($AB$) $\leq$ rank($B$) = rank($[T]_{\alpha}^{\beta}$) = rank($T$) by (d). $\blacksquare$

위 정리와 같이, 두 행렬을 곱한 행렬의 랭크는 일반적으로 각 행렬의 랭크보다 작거나 같다. 선형 변환의 관점에서 본다면, 아니 그보다 더 근본적인 함수라는 개념의 관점에서 본다면 지극히 당연한 정리이다. 합성을 하면 할수록 일반적으로 치역, 즉 range의 크기가 점점 작아질 것이고, 그에 따라 rank 또한 작아질 것이기 때문이다. 그리고 선형 변환은 행렬과 수학적으로 동일한 역할을 수행하는 것으로 여길 수 있으므로 이러한 관계는 행렬에도 동일하게 적용된다. 이때 랭크가 같을 조건을 아래의 정리가 말해준다.

Theorem 2

Theorem 2. Let $A \in M_{m \times n}(F)$, and let $P \in M_{m \times m}(F), Q \in M_{n \times n}(F)$ such that $P$ and $Q$ are invertible. Then
(a) rank($AQ$) = rank($A$),
(b) rank($PA$) = rank($A$),
(c) rank($PAQ$) = rank($A$).

Proof.
(a) Note that R($L_{AQ}$) = R($L_AL_Q$) = $L_AL_Q(F^n)$ = $L_A(F^n)$ = R($L_A$).
$\Longrightarrow$ rank($AQ$) = rank($A$).
(b) Note that R($L_A$) $\leq F^m$. Then rank($PA$) = dim($L_PL_A(F^n)$) = dim($L_P$(R($L_A$))) = dim(R($L_A$)) = rank($A$).
(c) By (a) and (b), it is clear. $\blacksquare$

즉 임의의 행렬에 가역행렬을 아무리 곱해도 원래 행렬의 랭크에 영향을 미치지 못한다는 뜻이다. elementary matrix는 가역행렬이고, 동일한 기본 연산을 행렬에 수행하는 것은 elementary matrix를 행렬에 곱하는 것과 동일하기 때문에 위 정리에 따라 elementary operation은 행렬의 랭크에 아무런 영향을 미치지 못한다는 사실을 알 수 있다. 함수의 관점에서 볼 때, invertible은 곧 bijective이고 이는 함수의 정의역과 치역을 완벽하게 보존하고 일대일 대응시킨다는 뜻이므로 rank가 보존된다고 이해할 수 있다.