Euclid's Lemma
·
Mathematics/Number Thoery
Euclid's Lemma Theorem 1. (Euclid's Lemma) Let $a, b \in \mathbb{Z}$, not both zero. If $a \,|\, bc$ for $c \in \mathbb{Z}$, with gcd($a, b$) = 1, then $a \,|\, c$. Proof. By Theorem 3, $1 = ax + by$ for some $x, y \in \mathbb{Z}$. Let $bc = ka$ for some $k \in \mathbb{Z}$. Then $c = c \cdot 1 = c(ax + by) = acx + bcy = acx + kay = a(cx + ky) \Longrightarrow a \,|\, c$. $\blacksquare$ $a$와 $b$는 ..
Relatively Prime
·
Mathematics/Number Thoery
Relatively Prime Definition 1. (Relatively Prime) Let $a, b \in \mathbb{Z}$, not both zero. Then $a$ and $b$ are relatively prime if gcd($a, b$) = 1. 두 정수의 최대공약수가 1일 경우 두 수를 relatively prime, 즉 서로소라고 부른다. 최대공약수를 두 수가 나눗셈이라는 연산에서 가지는 공통되는 성질의 최대치라고 생각해보자. 이러한 관점에서 서로소는 두 수가 더 이상 나눗셈에서 봤을 때 공통되는 성질을 가지지 않는다는 것으로 이해할 수 있다. Theorem 1 Theorem 1. Let $a, b \in \mathbb{Z}$, not both zero. Then $a$ and ..
Greatest Common Divisor
·
Mathematics/Number Thoery
Divisible Definition 1. $b \in \mathbb{Z}$ is divisible by $a \neq 0$, denoted $a \,|\, b$, if $\exists c \in \mathbb{Z}$ such that $b = ca$. We write $a \nmid b$ if $b$ is not divisible by $a$. $b$가 $a$로 divisible, 즉 나누어 떨어진다는 것은 $a$의 적당한 정수배가 $b$와 같다는 뜻이다. 이때 어떠한 정수라도 가능하며, 따라서 0은 모든 정수로 나누어 떨어진다. Theorem 1 Theorem 1. For $a, b, c \in \mathbb{Z}$, the following hold: (a) $a \,|\, 0, 1 \,|\, a,..
Division Algorithm
·
Mathematics/Number Thoery
Division Algorithm Theorem 1. (Division Algorithm) Let $a, b \in \mathbb{Z}$, with $b \neq 0$. Then $! \exists q, r \in \mathbb{Z}$ such that $a = qb + r (0 \leq r 0$, and let $S := \{a - xb \geq 0 \, | \, x \in \mathbb{Z}\}$. Since $b \geq 1$, $0 \leq a + |a| \leq a + |a|b $= $a - (-|a|)b$. Thus $S \neq \emptyset$. By Well-Ordering Principle, there is the least element $r \in S$. Then $\exists ..
Mathematical Induction
·
Mathematics/Number Thoery
Mathematical Induction Mathematical Induction. Let $S \subseteq \mathbb{N}$ with the following properties: (a) $n_0 \in S$ for some $n_0 \in \mathbb{N}$. (b) $k \in S \Longrightarrow k+1 \in S$. Then $S = \mathbb{N} \backslash \{1, ..., n_0 - 1\}$. $n_0 = 1$로 택하면 흔히 볼 수 있는 수학적 귀납법이 된다. Proof. Suppose that $T := (\mathbb{N} \backslash \{1, ..., n_0 - 1\}) \backslash S \neq \emptyset$. Then $T \su..
Archimedean Property in Number Theory
·
Mathematics/Number Thoery
Archimedean Property Archimedean Property. Let $a, b \in \mathbb{N}$. Then $\exists n \in \mathbb{N}$ such that $na > b$. 해석학에서 언급하는 아르키메데스의 성질의 정수론 버전이며, $a, b$를 자연수로 가져온 것 말고 차이는 없다. Proof. Suppose that $\forall n \in \mathbb{N}, na \leq b$. Let $S := \{b - na \, | \, n \in \mathbb{N}\}$. Since $b - na > 0$, $\emptyset \neq S \subseteq \mathbb{N} \cup \{0\}$. Then by Well-Ordering Principle, $..
Well-Ordering Principle
·
Mathematics/Number Thoery
Well-Ordering PrincipleWell-Ordering Principle. Let $\emptyset \neq S \subseteq \mathbb{N} \cup \{0\}$. Then $S$ is well-ordered, that is, $\exists a \in S$ such that $a \leq b, \forall b \in S$.정렬 원리라고도 하며, 집합 내에서 최소 원소의 존재성을 보장해준다. 선택 공리와 동치이므로 ZFC 공리계에서 문제없이 받아들일 수 있다.
Dual Space
·
Mathematics/Linear Algebra
이 포스트에서 $V, W$는 유한차원 $F$-벡터공간으로 취급한다.Linear FunctionalDefinition 1. Let $T \in \mathcal{L}(V, F)$. Then we call $T$ a linear functional on $V$.Dual SpaceDefinition 2. We define the dual space of $V$ to be the vector space $\mathcal{L}(V, F)$, denoted by $V^*$.The double dual (or bidual) space $V^{**}$ is the dual space of $V^*$.    선형 변환 $T: V \rightarrow F$을 linear functional, 선형 범함수라고 부르고 이들을 ..
수학의 확실성
·
독서/과학
https://product.kyobobook.co.kr/detail/S000001290623 수학의 확실성 | 모리스 클라인 - 교보문고 수학의 확실성 | product.kyobobook.co.kr 수학은 어디에서 와서 어디로 가고 있는가? 또 수학은 어디로 가야 하는가? 이에 대한 설명과 나름의 주장을 훌륭하게 해내고 있는 책 중 하나가 바로 모리스 클라인의 이다. 저자는 12장까지 첫 번째 질문에 대해 답하고 있으며, 13장부터는 두 번째 질문에 대해 첫 질문의 답변을 가지고 자신의 생각을 피력한다. 따라서 이 책은 수학의 역사만을 다루는 책이 아니며, 현재 수학이 지향해야 할 방향을 제시하는 저자의 주장을 담은 책이라고 이해할 수 있다. 이러한 저자의 이야기는 기존에 가지고 있던 나의 수학에 대한..
함수의 증가, 감소
·
Mathematics/Calculus
Definition Definition. Let $x_1, x_2 \in$ an interval $I$ such that $x_1 f(x_2). $$ Theorem Theorem. Let $f: I \longrightarrow \mathbb{R}$ be a differentiable function on $I$. Then for $\forall x \in I$, $$f'(x) > 0 \Longrightarrow f \text{ is incre..