The MultiplicityDefintion 1. Let $T \in \mathcal{L}(V)$, and let $\lambda$ be an eigenvalue of $T$ with characteristic polynomial $f(t)$. Then (a) The algebric multiplicity of $\lambda$ is the largest positive integer $k$ for which $(t - \lambda)^k$ is a factor of $f(t)$.(b) The geometric multiplicity of $\lambda$ is $\dim(E_{\lambda})$ where $E_{\lambda}$ is the eigenspace of T corresponding to..

The EigenspaceDefinition 1. Let $T \in \mathcal{L}(V)$, and let $\lambda$ be an eigenvalue of $T$. The eigenspace of $T$ corresponding to $\lambda$ is the set $E_{\lambda} = N(T - \lambda I_V) = \{x \in V \,|\, T(x) = \lambda x\}$. Analogously, we define the eigenspace of a square matrix $A$ to be the eigenspace of $L_A$.    즉 주어진 고유벡터 $\lambda$에 대응하는 고유공간 $E_{\lambda}$는 $\lambda$에 대응하는 고유벡터들과 영..

The Prime Number Definition 1. An integer $p > 1$ is called a prime number (or prime) if its only positive divisors are 1 and $p$. An integer greater than 1 that is not a prime is called a composite. 양의 약수로 1과 자기 자신 밖에 가지지 않는 수를 소수라고 하고, 그렇지 않은 수를 합성수라 한다. 나눗셈이라는 연산의 관점에서 볼 때 더이상 쪼개지지 않는, 마치 원자와 동일한 역할을 수행하는 대상이다. 소인수분해라는 개념이 괜히 있는 것이 아니다. 정수들을 이루는 벽돌과도 같은 기본 단위가 소수이기 때문에 소수를 기준으로 정수를 분해하는 것이다. ..

The Linear Diophantine Equation Definition 1. Let $a, b, c \in \mathbb{Z}$ with $a \neq 0, b \neq 0$. The equation $$ax + by = c$$ that is to be solved in the integers is called the linear diophatine equation in two unknowns. 교과과정에서는 일차 부정방정식으로 소개되는 선형 디오판토스 방정식이다. 보통 정수를 계수로 가지는 다항식의 정수해를 찾는 것을 의미한다. 해를 가지는 조건과 해의 구체적인 형태가 깔끔하게 알려져 있다. Theorem 1 Theorem 1. The linear diophantine equation $ax + ..

이 포스트에서 $V$는 $n$차원 $F$-벡터공간으로 취급한다.Theorem 1Theorem 1. (a) Let $T \in \mathcal{L}(V)$. Then a scalar $\lambda$ is an eigenvalue of $T$ $\Longleftrightarrow$ $\det(T - \lambda I_V) = 0$.(b) Let $A \in M_{n \times n}(F)$. Then a scalar $\lambda$ is an eigenvalue of $A$ $\Longleftrightarrow$ $\det(A - \lambda I_n) = 0$.Proof. (a) Since $\lambda$ is an eigenvector of $T$, there is an nonzero vector ..

이 포스트에서 $V$는 유한차원 $F$-벡터공간으로 취급한다.DiagonalizableDefinition 1. Let $T \in \mathcal{L}(V) [A \in M_{n \times n}(F)]$. $T [A]$ is called diagonalizable if there is an ordered basis $\beta$ for $V [F^n]$ such that $[T]_{\beta} [[L_A]_{\beta}]$ is a diagonal matrix.Eigenvector, EigenvalueDefinition 2. Let $T \in \mathcal{L}(V) [A \in M_{n \times n}(F)]$. Then $\mathbb{0} \neq v \in V [F^n]$ is called..

이 포스트에서 $V$는 유한차원 $F$-벡터공간으로 취급한다.Determinant of a Linear OperatorDefinition 1. Let $T \in \mathcal{L}(V)$. We define the determinant of $T$, denoted $\det(T)$, to be $\det(T) = \det([T]_{\beta})$, where $\beta$ is an ordered basis for $V$.     선형 연산자 $T$의 행렬 표현의 행렬식으로 $T$의 행렬식을 정의할 수 있다. 이러한 정의는 $V$의 기저의 선택에 의존하지 않는다. Let $\beta, \gamma$ be ordered bases for $V$. By Theorem 2, we have $[T]_{\ga..

Least Common Multiple Definition 1. Let $a, b \in \mathbb{Z}$, with $a \neq 0, b \neq 0$. The least common multiple of $a$ and $b$, denoted by lcm($a, b$), is $m \in \mathbb{N}$ satisfying the following: (a) $a \,|\, m \wedge b \,|\, m$. (b) $a \,|\, c \wedge b \,|\, c (c > 0) \Longrightarrow m \leq c$. 최대공약수와 마찬가지의 방법으로 lcm, 즉 최소공배수를 정의할 수 있다. 공배수이면서 ((a)) 공배수 중 가장 작은 수를 ((b)) 최소공배수라고 한다. Theor..

주어진 두 수의 최대공약수는 보통 소인수분해를 하여 구한다. 그러나 숫자가 커져가면 소인수분해가 힘들어지고, 최대공약수를 구하는 것 또한 만만찮은 작업이 된다. 이때 직접 소인수분해를 하지 않고도 최대공약수를 제시해주는 방법이 Euclidean Algorithm, 즉 유클리드 호제법이다. 기본적으로 알고리즘이므로 일련의 과정을 제시하고, 이 과정을 따라가면 반드시 최대공약수를 구할 수 있다. Euclidean Algorithm 주어진 두 정수 $a, b$에 대해 gcd($|a|, |b|$) = gcd($a, b$)이므로 편의상 $a \geq b > 0$이라 가정해도 문제가 되지 않는다. Division Algorithm에 의해 $$a = q_1b + r_1 (0 \leq r_1 < b)$$를 만족하는 $..

Euclid's Lemma Theorem 1. (Euclid's Lemma) Let $a, b \in \mathbb{Z}$, not both zero. If $a \,|\, bc$ for $c \in \mathbb{Z}$, with gcd($a, b$) = 1, then $a \,|\, c$. Proof. By Theorem 3, $1 = ax + by$ for some $x, y \in \mathbb{Z}$. Let $bc = ka$ for some $k \in \mathbb{Z}$. Then $c = c \cdot 1 = c(ax + by) = acx + bcy = acx + kay = a(cx + ky) \Longrightarrow a \,|\, c$. $\blacksquare$ $a$와 $b$는 ..