38) 컴프턴 효과
아인슈타인은 광전 효과를 훌륭히 이론적으로 설명하였지만, 광양자나 광전자에 대한 직접적인 물리양을 측정한 것은 아니었다. 실험으로 그 값을 측정하고 존재를 규명하는 것이 물리학에서는 매우 중요하므로, 아인슈타인에게 노벨상을 가져다 준 것은 단지 광전 효과를 설명하여 발표한 1905년의 논문만이 아니었을 것이다. 결정적인 계기는 1923년, 컴프턴(A. Compton)은 아인슈타인의 광양자 이론과 특수상대성이론을 바탕으로 빛이 입자의 성질을 갖는다는 것을 실험적으로 증명한 사건에 있었다. 이를 '컴프턴 산란'(Compton scattering), 혹은 '컴프턴 효과'(Compton effect)라고 부른다.
컴프턴은 위 그림과 같이 X선과 같은 전자기파를 원자에 충돌시키는 실험을 고안하였다. X선과 같은 전자기파를 원자에 입사시키면 X선의 에너지 일부가 원자의 내부 전자에 전달되어 전자가 일정 운동 에너지를 가지고 탈출하게 된다. 때문에 산란된 X선은 더 적은 에너지, 즉 더 긴 파장을 가질 것이고 컴프턴 자신이 이 사실을 실험과 이론으로 증명했다.1 이를 통해 컴프턴은 아인슈타인의 광양자 이론에 따라 입사하는 X선을 광양자라는 입자로 가정한 뒤 두 파장의 차이에 관한 공식
$$\lambda ' - \lambda = \frac{h}{m_0 c}(1 - cos \phi)$$을 유도해냈고(단, $h$는 플랑크 상수, $c$는 광속, $m_0$는 산란된 전자의 정지 질량), 이 공식으로 계산한 값과 실험에서 측정한 값이 정확히 일치함을 보였다.
이제 위에서 소개한 컴프턴 산란 공식을 유도해보자. 위 그림과 같이 X선 광양자는 원자와 충돌하여 $+ \phi$ 각도로 산란되고 원자로부터 탈출한 전자는 정지 질량 $m_0$를 가지고 $-\theta$ 각도로 산란된다. 이때 위에서 언급한 것과 같이 광양자는 일부 에너지를 전자에게 전달한다. 충돌 전과 충돌 후 광양자의 진동수를 각각 $\nu, \nu '$이라고 한다면
$$h\nu - h\nu ' = \Delta K$$만큼 전자는 운동 에너지를 얻는다. 특수상대성이론에서 정지 질량이 0인 입자, 즉 광양자의 경우 다음의 관계가 성립함을 살펴보았었다.
$$p = \frac{E}{c}$$
따라서 이 식을 가지고 광양자의 충돌 전과 후의 운동량을 각각 나타낼 수 있으며, 전체 계에 외력이 작용하지 않는다고 가정할 수 있으므로 운동량 보존 법칙을 사용할 수 있다. 충돌 후 전자의 운동량을 $p_e$라고 한다면, 운동량 보존법칙은 다음과 같다.
$$\frac{h\nu}{c} + 0 = \frac{h\nu '}{c} \text{cos} \phi + p_e \text{cos} \theta \\ 0 + 0 = \frac{h \nu '}{c} \text{sin} \phi - p_e \text{sin} \theta$$이 두 식의 양변에 $c$를 곱한 뒤, 각각 제곱해서 연립하면 다음과 같다.
$$p^2_e c^2 = (h\nu)^2 - 2(h \nu)(h \nu ') \text{cos} \phi + (h \nu ')^2 \cdots (*)$$
특수상대성이론에서 질량-에너지 등가성과 상대론적 운동량과 에너지의 관계를 이용해 다음의 결과를 얻을 수 있다.
$$(\Delta K + m_0 c^2)^2 = m^2_0 c^4 + p^2_e c^2 \\ \Longrightarrow p^2_e c^2 = (h \nu)^2 - 2(h \nu)(h \nu ') + (h \nu ')^2 + 2m_0 c^2 (h\nu - h \nu ')$$
이 식과 (*)를 같다고 둔 뒤 정리하고 양변을 $2h^2c^2$으로 나누어 정리하면 최종적인 컴프턴 산란 공식을 얻는다.
$$2m_0 c^2 (h \nu - h \nu ') = 2(h\nu)(h\nu ')(1 - \text{cos} \phi) \\ \Longrightarrow \frac{m_0 c}{h}(\frac{\nu}{c} - \frac{\nu '}{c}) = \frac{\nu}{c} \frac{\nu '}{c} (1 - \text{cos} \phi) \\ \Longrightarrow \frac{m_0 c}{h}(\frac{1}{\lambda} - \frac{1}{\lambda '}) = \frac{1 - \text{cos} \phi}{\lambda \lambda '} \\ \Longrightarrow \lambda ' - \lambda = \frac{h}{m_0 c} (1 - \text{cos} \phi)$$
컴프턴은 위와 같은 실험 장치를 가지고 입사각 $\phi$에 따른 X선의 파장 변화를 측정하였는데, 위에서 유도한 산란 공식으로 계산된 값과 측정한 값이 완벽하게 일치함을 보였다. 즉 X선을 광양자라고 가정하고 유도한 식과 실험 결과가 일치하였던 것이다. 따라서 아인슈타인의 광양자 가설이 물리학적으로 타당함을 보일 수 있다.
- 컴프턴은 이 공로로 1927년 노벨 물리학상을 수상다. [본문으로]