Conservation Theorems
Conservation Theorems.
(i) The total linear momentum $p$ of a particle is conserved when the total force on it is zero.
(ii) The angular momentum of a particle subject to no torque is conserved.
(iii) The total energy E of a particle in a conservative force field is a constant in time.
물체에 작용하는 힘 $F$가 보존력(coservative force)이면 다음의 관계를 갖는 퍼텐셜 함수 $U$가 존재하고, 특별히 $U$를 퍼텐셜 에너지(potential energy)라고 부른다. $$F = - \nabla U$$ 미적분학의 기본 정리에 의해 물체가 갖는 에너지는 퍼텐셜 에너지의 차이에만 의존한다.
만약 퍼텐셜 에너지가 오직 위치만의 함수이면, 예컨대 중심력과 같은 경우라면 $U$는 시간에 관한 함수가 아니고, 여기에서 $E = T + U$로 정의되는 전체 에너지 $E$는 시간에 대해 일정하다는 결과를 얻는다. 이를 '에너지 보존 정리'라고 부른다.
Potential Energy
많은 경우 퍼텐셜 에너지는 위치에만 의존하고, 때문에 물체의 운동을 기술하기 위해서 퍼텐셜 에너지를 조사하는 것만으로 많은 정보를 얻을 수 있다. 예컨대 다음의 그림을 보자.
어떤 물체의 퍼텐셜 에너지가 다음과 같은 분포를 가진다고 하자. 이때 항상 $E(x) \geq U(x)$가 성립하므로 전체 에너지 $E(x)$가 $E_0, E_1, E_2, E_3, E_4$ 중 어느 값을 갖느냐에 따라서 물체가 보일 수 있는 운동의 모든 경우의 수를 추측할 수 있다.
특별히 퍼텐셜 에너지가 미분 가능할 때 극값을 주는 $x_0$와 같은 점을 평형점(equilibrium point)이라고 부른다. 따라서 정의상 평형점에서는 $$\frac{dU(x)}{dx} = 0$$ 조건을 만족한다.
$x = x_0$의 경우, 입자가 이 위치에 놓였을 때 위치가 조금 변해도 다시 그 자리로 돌아오게 된다. 이런 평형점을 '안정 평형점'(stable equilibrium point)이라고 부른다. 안정 평형점은 자명하게 극소값을 주므로 $$\frac{d^2U(x)}{dx^2} > 0$$을 만족한다. 반대로 $$\frac{d^2U(x)}{dx^2} < 0$$을 만족하는 평형점, 즉 극대값을 주는 평형점을 '불안정 평형점'(unstable equilibrium point)이라고 부른다. 불안정 평형점에 물체가 놓이게 되면, 조금 위치가 변하면 물체는 결코 그 자리로 다시 돌아오지 않는다.