Temperature전체 에너지가 $E$로 고정되고 volume과 the nubmer of particles이 고정된 thermodynamic system이 있고, 이 system을 정확히 절반으로 나누어서 각각 $E_1$과 $E_2$의 에너지를 가지고 thermal contact 중에 있어서 열을 교환할 수 있는 independent한 두 개의 계로 구분하자. 이러한 energy distinction의 가정은 충분히 정당화될 수 있다. Thermodynamic limit를 고려할 때 우리는 에너지와 같은 물리량을 extensive variable로 정의할 수 있었다. 즉 system의 size에 dependent한 변수다. 만약 쌍성계와 같이, 중력에 의해 강력하게 interaction하는 system..

Central Limit Theorem$N$이 매우 크다고 가정할 때, 서로 독립인 $N$개의 random variable $X_i$에 대해서 $Y = \frac{1}{N}\sum_{i=1}^N X_i$로 정의하자. 각 변수는 동일한 분포를 따르고(어떤 분포인지는 중요하지 않다) fat tail를 가지지 않는, 즉 충분히 빠르게 decay한다고 가정한다. 이런 경우 $Y$의 분포는 정규분포로 근사됨을 보장해주는 정리가 central limit theorem, 중심 극한 정리이다.  위와 같이 정의한 $Y$는 $N$개의 확률 변수 $X_i$들의 산술 평균이다. 각 확률 변수들을 동일한 분포에서 랜덤하게 추출했으므로 평균과 표준편차는 모두 같을 것이고, 이를 각각 $\langle X \rangle$, $\s..

Rotation2 dimesion Cartesian coordinate에 점 $(x, y)$가 주어졌다고 하자. 이때 기존 좌표계를 원점을 기준으로 반시계 방향으로 $\theta$만큼 회전했을 때 기존 점의 좌표와 변경된 점의 좌표 $(x', y')$는 다음의 관계식을 통해 기술된다. $$\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos \theta & \sin \theta \\ - \sin \theta & \cos \theta \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$$ 이때 $$S = \begin{pmatrix} \cos \theta & \sin \theta \\ - \sin \theta &..

Cross ProductDefinition 1. Let $A, B$ be vectors. The cross product of $A$ and $B$ is defined as $A \times B = (|A||B| \sin \theta) \hat{\mathbf{e}}_c$ where $\hat{\mathbf{e}}_c$ is the unit vector to be perpendicular to the plane of $A$ and $B$, such that $A, B$, and $C$ form a right-handed system.Remark. Let $A, B \in \mathbb{R}^3$. Then $$C_i = \sum_{j, k} \varepsilon_{ijk} A_j B_k$$ equivale..

부피가 $V$로 고정된 어떤 box안에 $N$개의 particle들이 들어있다. 각 particle은 독립적으로 거동하며 ideal gas을 가정한다. 이때 가상적으로 $V'$의 볼륨을 가지는 mini box를 만들자. 입자들은 자유롭게 box안을 드나들 수 있고, $V'$의 부피를 가지는 영역에 있을 수도 있고, 그 밖에 있을 수도 있다. 이때 $N$개의 particle들이 모두 이 mini box 안에 들어있을 확률은 얼마일까?  자명하게 $\frac{V'}{V}$이다. 그렇다면 $k$개의 입자가 $V'$ 상자에 들어있을 확률은 무엇일까? 각각은 mini box에 들어있냐, 들어있지 않냐의 결괏값을 가지므로 binomial distribution으로 생각할 수 있고, 그 확률은 $$\binom{N}{..

[을유 문화사에서 도서를 제공받아 작성한 글입니다.] 나는 고등학교 시절 수학이 너무나 싫어서 수학과에 진학했다. 고등학교 수학 교과서는 대부분의 경우 어떠한 수학적 사실을 증명 없이 소개한 뒤 곧바로 이를 적용하는 문제를 풀게 한다. 나는 이런 교과서의 서술 방식이 매우 마음에 들지 않았다. 물론 거대한 지식의 바다 앞에서 지적 유아에 가까운 한낱 고등학생에게 엄-밀한 증명을 들이밀기가 쉽지 않은 형편도 알고 있지만, 그럼에도 불구하고 현 교과서는 학생들에게 직관적으로라도 이해시키려는 일말의 노력조차 그 흔적을 찾을 수 없다. 또한 현실을 모델링하여 직접 문제를 탐구하고 해결하려는 방향의 교육은 전무하다고 해도 과언이 아니다. 대부분의 자연과학, 공학 분야에서 수학을 이용하는 방식이 모델링과 수치적으로..

Random Walk금요일 저녁, 오늘도 대학가는 한 주간의 노고를 달래기 위해 몰려온 대학생들로 가득하다. 이때 잔뜩 취한 듯한 우리의 관측 대상이 한 가게에서 발견되었다! 관측 대상은 종잡을 수 없는 움직임으로 비틀대며 길가를 활보한다. 이때 일정 시간이 지나고 특정 지점에 우리의 관측 대상이 발견될 확률은 얼마나 될까?  가게의 위치를 원점으로 잡고, 관측 대상은 원점에서 출발해 $x$축 위에서 움직인다고 하자. 우리는 $x$축을 discretize하여서 단위 길이를 $l$로 둘 것이다. 즉 관측 대상은 '한 번' 움직일 때 $l$만큼 이동할 수 있다. 그리고 관측 대상은 $-l$만큼 움직일 것인지, $+l$만큼 움직일 것인지 반반의 확률로 판단을 한다고 가정하자. 즉 각 case를 선택할 확률은 ..

Definition 1. Let $A \in M_{n}(F)$. Then we define$$e^A = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!} A^n, \\ \sin(A) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n+1)!} A^{2n+1}, \\ \cos(A) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n)!} A^{2n}.$$

두 행렬 $A, B \in M_{2}(\mathbb{R})$을 가져오자. 이때 $$A \otimes B = \begin{pmatrix} A_{11}B & A_{12} B \\ A_{21} B & A_{22} B \end{pmatrix}$$와 같이 정의되는 연산 $\otimes$를 direct product라고 부른다. 즉 위 예시에서 두 행렬의 direct 곱의 결과값은 $4 \times 4$ 행렬이다.

Invertible $n \times n$ matrix $A$의 determinant는 어떤 $i$에 대해 다음과 같이 주어진다. $$\det(A) = \sum_{j=1}^n (-1)^{i+j} A_{ij} \det(\widetilde{A_{ij}})$$ 각 $A_{ij}$를 variable로 선언한다면 $\det(A)$는 $A_{ij}$들로 이루어진 함수다. $x$를 $A_{ij}$들에 dependent하는 어떤 변수라고 한다면 $\det(A)$를 $x$에 대해 미분한 결과는 chain rule과 components of the inverse of a matrix를 구하는 공식에 의해 다음과 같이 얻어진다. $$\frac{d \det(A)}{dx} = \sum_{i, j} \frac{\partial \..