Binomial Series정수 $m$에 대하여 함수 $f(x) = (1+x)^m$를 고려하자. 이때 remainder 항을 포함하여 $f(x)$를 power series로 작성하면 다음과 같다. $$(1+x)^m = 1 + mx + \frac{m(m-1)}{2!} x^2 + \cdots + R_n$$ 이때 $R_n$은 $$R_n = \frac{x^n}{n!}(1 + \xi)^{m-n} m(m-1) \cdots (m-n+1)$$이고, $\xi \in [0, x]$이다. 정의역을 $x \geq 0$으로 제한하자. $n > m$인 경우에 대하여 $(1 + \xi)^{m-n}$은 $\xi = 0$일 때 최댓값 $1$을 가진다. 따라서 $|R_n| \leq \frac{x^n}{n!} |m(m-1) \cdots ..

Taylor Series함수 $f(x)$가 $a \leq x \leq b$에서 continuous $n$th derivative를 가진다고 가정하자. 이때 다음의 적분을 계산하자. $$\int_a^x f^{(n)}(x_1)dx_1 = f^{(n-1)}(x_1) \Big|_a^x = f^{(n-1)}(x) - f^{(n-1)}(a), \\     \int_a^x dx_2 \int_a^{x_2} f^{(n)}(x_1)dx_1 = \int_a^x dx_2 \left[ f^{(n-1)}(x_2) - f^{(n-1)}(a) \right] \\ = f^{(n-2)}(x) - f^{(n-2)}(a) - (x-a) f^{(n-1)}(a), \\     \int_a^x dx_3 \int_a^{x_3} dx_2 \int_..

Building BlocksFundamental한 수준의 thermal physics를 다뤄보자. 이 과목의 가장 큰 특징은 many building blocks of physics를 알아야 하는 것이다. Building block이란 atom, molecule과 같은 어떤 물질을 이루는 구성 요소를 통칭하여 일컫는 말이다. 그렇다고 각 particle의 atomic scale을 다루는 것은 아니다. $N$을 particle의 개수라고 할 때, 우리는 $N >>> 1$인 물질과 그러한 상황을 기술하고 싶다는 것이다. Thermal Physics본 교재에서는 thermal physics를 크게 Thermodynamics, Statistical Mechanics, Kinetic Theory의 세 가지 분야로..

Ideal GasDefinition 1. Ideal gas is a system of non-interacting particles. (no potential interaction)현실적인 입자라면 입자들 사이에 작용하는 여러 가지 종류의 인력이 있다. 그러나 ideal gas는 말 그대로 ideal한 조건들을 적용시켜서 현실의 입자들을 모델링한 개념이다. 즉 입자들 사이의 interaction이 없다고 가정한다. 이는 다시 말해 potential function이 없다는 것과 동일하다. 또한 random elastic collision을 항상 가정하고, 이에 따라 random motion을 갖는다고 가정한다. Fundamental한 수준의 Thermal Physics에서는 ideal gas가 monat..

Stirling's FormulaStirling's Formula. $$\ln n! \approx n \ln n - n + \frac{1}{2} \ln 2 \pi n \\ \iff n! = e^{n \ln n - n} \cdot e^{\sqrt{2 \pi n}}$$우변의 마지막 항인 $\frac{1}{2} \ln 2 \pi n$은 상황에 따라 생략해도 큰 오차를 낳지 않는다.  열물리학에서는 $N >>> 1$인 상황, 다시 말해 고려하는 입자의 개수가 아보가드로 수 $N_A$ 정도로 큰 경우를 다루고, 각 입자가 가지는 state를 카운팅하는 상황이 자주 등장한다. 때문에 combinatorial한 계산을 주로 하고, 이때 매우 큰 숫자의 팩토리얼 연산을 매번 하기란 쉽지 않기 때문에 위의 스털링 공식을..

Axiom of ChoiceAxiom of Choice. To any nonempty family $\mathcal{P}$ whose elements are nonempty sets, there exists a function called a choice function $$f : \mathcal{P} \longrightarrow \bigcap_{A \in \mathcal{P}} A$$ such that $f(A) \in A$ for all $A \in \mathcal{P}$. 다시 말해 임의의 집합족이 있을 때 집합족의 원소인 각 집합에서 하나씩 원소를 꺼내서 대응시키는 그러한 함수가 존재한다는 내용이다. 집합족이 유한할 때는 당연하지만, 문제는 무한한 경우이다. (문제는 항상 무한에서 발생한다.) 쉽..

CardinalityDefinition 1. We define the cardinality of a set $X$, denoted by card $X$, by satisfying the following properties: (1) Each set $A$ is associated with card $A$, and for each cardinality $a$ there is a set $A$ with card $A = a$.(2) Card $X = 0 \iff X = \emptyset$(3) If $X \sim \mathbb{N}_k$ for some $k \in \mathbb{N}$, then card $X = k$.(4) For any two sets $A$ and $B$, card $A$ = card..

Denumerable and Countable SetsDefinition 1. A set $X$ is said to be denumerable if $X \sim \mathbb{N}$. A countable set is a set which is either finite or denumerable.Countable set은 말 그대로 대상들을 하나하나 '셀 수 있는', 가산집합을 의미한다. 유한집합은 직관적으로도 당연히 셀 수 있다. 말 그대로 대상이 유한 개니까 시간은 좀 걸리더라도 언젠가 끝이 있기 때문이다. 그러나 무한집합의 경우는 어떻게 가능할까? 비록 세아려야 할 대상이 무한하지만, 각 대상이 모두 번호가 붙어 있어서 우리에게 그 번호의 규칙이 주어진다면 다른 의미에서 셀 수 있다고 말할 수 있..

EquipotentDefinition 1. Two Sets $X$ and $Y$ are said to be equipotent, symbolized as $X \sim Y$ provided that there exists a bijection $f : X \longrightarrow Y$.이때 $\sim$를 relation으로 정의할 수 있고 뿐만 아니라 동치 관계가 된다는 것을 쉽게 알 수 있다. 두 집합 사이의 bijection이 존재한다는 것은 집합의 각 원소를 일대일 대응시킬 수 있다는 말이고, 이는 두 집합의 크기가 같다는 말로도 이해할 수 있다. 이는 유한집합 뿐만 아니라 무한집합을 다룰 때에 매우 유용한 툴이라고 할 수 있다.Theorem 1Theorem 1. Let $X, Y, Z$ and..

Infinite SetsDefinition 1. A set $X$ is infinite if there is a proper subset $Y$ to be equipotent to $X$, that is, there is a bijection from $X$ to $Y$. A set is finite if it is not infinite.무한을 정의하기란 매우 어려운 일이다. 무한집합을 정의한 위 서술에서 '무한'이라는 말이 직접적으로 들어가 있지 않음에 주목하자. 이 정의는 언뜻 보면 쌩뚱맞지만, 우리가 직관적으로 생각하는 '무한' 집합에서만 볼 수 있는 특이한 성질이다. 예컨대 자연수 집합 $\mathbb{N}$을 생각하자. 이때 함수 $\sigma : \mathbb{N} \longrightarro..