UnionDefinition 1. Let $\mathcal{F}$ be a family of sets. The union of the sets in $\mathcal{F}$, denoted by $\cup_{A \in \mathcal{F}} A$ is the set of all elements that are in $A$ for some $A \in \mathcal{F}$. That is, $$\bigcup_{A \in \mathcal{F}} A = \{ x \in U \, | \, \exists A \in \mathcal {F}, x \in A \}.$$IntersectionDefinition 2. Let $\mathcal{F}$ be a family of sets. The intersection of..

Divergence TheoremTheorem 1. Let $\mathbf{F}$ be a vector field whose components have continuous first partial derivatives, and let $S$ be a piecewise smooth oriented closed surface. The flux of $\mathbf{F}$ across $S$ in the direction of the surface’s outward unit normal field $\mathbf{n}$ equals the triple integral of the divergence $\nabla \cdot \mathbf{F}$ over the region $D$ enclosed by the..

[본 독서인증은 스노우폭스북스의 지원을 받아 작성되었습니다.] 저자는 인간의 여러 가지 욕구 중 가장 근본적인 욕구를 식욕이라고 보는 듯하다. 그렇기에 식욕을 조절할 수 없다면 나머지 욕구들도 조절할 수 없을 것이고, 이는 성공과 행복에 직결되어 있다고 말한다.  현대의 문체에 맞게 번역해 보자. 우리는 모두 각자의 '양'이 있어서 어느 정도 먹으면 배가 차는 대략적인 기준을 알고 있다. 저자는 이를 각자 하늘에서 정해진 할달량이 있다고 표현한다. 결국 이는 자기 스스로를 잘 알고 거기에 맞춰서 삶의 습관을 잡아야 한다는 뜻이라고 이해할 수 있다.  스스로를 정확하게 파악하여서 그에 맞춰서 식습관과 같은 삶의 루틴을 정하고 절제하는 것이야말로, 이러한 지극히 개인적인 영역을 통제하는 것이야말로 더 큰 영..

Stokes's Theorem Theorem 1. Let $S$ be a piecewise smooth oriented surface having a piecewise smooth boundary curve $C$. Let $\mathbf{F} = \langle M, N, P \rangle$ be a vector field whose components have continuous first partial derivatives on an open region containing $S$. Then the circulation of $\mathbf{F}$ around $\mathbf{C}$ in the direction counterclockwise with respect to the surface’s un..

Surface Integral of Scalar FunctionsLine integral이 임의의 곡선 위에서 함수를 적분하는 것이었다면, 이를 확장하여 임의의 surface 위에서 함수를 적분해보자. Scalar function $G(x, y, z)$와 smooth한 곡면 $S$가 있을 때, $S$는 $uv$ 평면의 region $R$에서 좌표 공간으로의 transformation인 $\mathbf{r}(u, v) = \langle f(u, v), g(u, v), h(u, v) \rangle$에 의해 parametrization된다. $S$의 area를 구했을 때와 같이, $R$을 잘게 쪼갠 piece에 대응되는 $S$ 위의 patch의 넓이를 $\Delta \sigma_{uv}$라고 하면 tangen..

Parametrization of SurfacesDefinition 1. Suppose $\mathbf{r}(u, v) = \langle f(u, v), g(u, v), h(u, v) \rangle$ is a continuous vector function that is defined on a region $R$ in the $uv$-plane and one-to-one on the interior of $R$. We call the range of $\mathbf{r}$ the surface $S$ defined or traced by $\mathbf{r}$. The vector function together with the domain $R$ constitutes a parametrization o..

Spherical CoordinatesDefinition 1. Spherical coordinates represent a point $P$ in space by ordered triples $(r, \theta, \phi)$ in which $r \geq 0$ and $0 \leq \phi \leq \pi$.위 그림과는 다른 기호를 사용하였다. $r$은 원점에서부터의 거리, $\theta$는 원점과 점 $P$를 이은 선분과 $z$ 축이 이루는 각도, $\phi$는 cylindrical coordinates에서와 동일하게 $x$ 축과 선분 $OP$를 $xy$ 평면에 정사영한 선분이 이루는 각도이다.  마찬가지로 구 좌표계는 cartesian coordinates와 자유롭게 변환이 가능하다. $(x, y,..

Cylindrical CoordinatesDefinition 1. Cylindrical coordinates represent a point $P$ in space by ordered triples $(\rho, \phi, z)$ in which $r \geq 0$. 단순히 polar coordinates에다가 $z$ 성분만 추가한 3차원 좌표계이다. 위 그림에는 $(r, \theta, z)$로 나타냈지만 생새우초밥집 저자의 주장을 받아들여 $(\rho, \phi, z)$로 쓰도록 하자.  원통 좌표계는 좌표공간에서 cartesian coordinates과 자유롭게 변환할 수 있다. $(x, y, z)$는 $(\rho \cos \phi, \rho \sin \phi, z)$로 바꿀 수 있으며, 반대로 $(..

Polar Coordinates좌표평면 상의 점들을 $x, y$축으로 나타내는 cartesian coordinates와는 달리 원점으로부터의 거리 $r$과 initial ray, 즉 시초선으로부터의 각도 $\theta$로 나타내는 좌표계를 polar coordinates, 극 좌표계라고 부른다.주기성으로 인해 극 좌표계 위의 임의의 한 점을 표현하는 좌표는 무수히 많을 수 있다. 예컨대 $P(2, 6 / \pi)$를 나타내는 점은 $$(2, \frac{\pi}{6} + 2n\pi) \quad \text{  or  } \quad (-2, - \frac{5 \pi}{6} + 2n\pi) (n = -, \pm 1, \pm 2, ...)$$으로 무수히 많다.  데카르트 좌표계와 극 좌표계는 서로 자유롭게 변환될..

Green's TheoremTheorem 1. Let $C$ be a piecewise smooth, simple closed curve enclosing a region $R$ in the plane. Let $\mathbf{F}(x, y) = \langle M(x, y), N(x, y) \rangle$ be a vector field with $M$ and $N$ having continuous first partial derivatives in an open region containing $R$. Then the counterclockwise circulation of $\mathbf{F}$ around $C$ equals the double integral of $(\nabla \times \m..