Mathematics

MaximalDefinition 1. Let $\mathcal{F}$ be a family of sets. A member $M$ of $\mathcal{F}$ is called maximal if $M$ is contained in no member of $\mathcal{F}$ other than $M$ itself.    말 그대로 포함 관계에 있어서 가장 최상위에 있는 원소를 maximal 이라고 한다. 예컨대 어떤 집합의 power set에서 그 집합은 자명하게 maximal element 이다. ChainDefinition 2. A collection of sets $\mathcal{C}$ is called a chain (or nest or tower) if for each pair of s..

Definition 1Definition 1.(a) An $m \times n$ matrix $A$ with entries from a field $F$ is a rectangular array of the form $$A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{pmatrix}$$ where each entry $a_{ij}\, (1 \leq i \leq m, 1 \leq j \leq n)$ is an element of $F$. We often denote $..

BasisDefinition 1. A basis $\beta$ for $V$ is a linearly independent subset of $V$ such that = $V$.    generating set은 해당 벡터 공간의 정보를 알려주는 집합이고, 이때 최대한 그 크기를 줄인 집합이 linearly independent set이었다. 즉 두 조건을 모두 만족시키는 집합이야말로 벡터 공간을 다루기에 가장 좋은 집합이므로, 기저라는 이름으로 정의한다.RemarkRemark.(a) A basis can be infinite.(b) Since = $\{\mathbf{0}\}$ and $\emptyset$ is linearly independent, $\emptyset$ is a basis for $..

GenerateDefinition 1. We say that $S \subseteq V$ generates (or spans) $V$ if = $V$. In this case, we also say that the vectors of $S$ generate (or span) $V$.    어떤 벡터 공간 $V$에 대해서 이를 생성하는 집합을 알 수 있다면 $V$를 다루는 것이 훨씬 수월해진다. 굳이 전체 공간인 $V$를 다룰 필요 없이 훨씬 더 작은 크기의 집합을 가지고 $V$를 표현할 수 있기 때문이다. 이때 이러한 generating set은 여러 개가 존재할 수 있기에 그중에서도 가장 크기가 작은 집합을 고르는 것이 자연스럽다.     예컨대 어떤 generating set 안의 한 벡터가 그 집..

Linear combinationDefinition 1. Let $\emptyset \neq S \subseteq V$. A vector $v \in V$ is called a linear combination of vectors of $S$ if $\exists$ $u_1, u_2, ..., u_n \in S$ and $a_1, a_2, ..., a_n \in F$ such that $$v = \sum_{i=1}^{n} a_iu_i.$$     쉽게 말해 벡터 $v$를 적당히 다른 벡터들의 합으로 표현할 수 있다면, 이때 $v$를 linear combination이라고 한다.Note. Since $0v = \mathbf{0}, \forall v \in S$, $\mathbf{0}$ is a linear ..

SubspaceDefinition 1. Let $V$ be a vector space over $F$. $W \subseteq V$ is called a subspace of $V$, denoted by $W \leq V$, if $W$ is a vector space over $F$ with the same operations defined on $V$.    즉 벡터공간 $V$와 동일한 field와 연산을 가진, 다시 말해 동일한 대수적 구조를 가지면서 크기만 줄인 $V$의 부분집합을 $V$의 subspace라고 부른다.Note. For any vector space $V$, $V \leq V, \{\mathbf{0}\} \leq V$.    어떤 집합 $W$가 주어졌을 때 $W$가 $V$의 subs..

Vector space이전까지, 즉 기초 미적분학이나 일반물리 정도의 수준에서는 벡터의 정의를 단순히 크기와 방향을 동시에 가지는, 크기만 가지는 스칼라와는 구분되는 양으로 정의해서 사용해 왔다. 이때 Cartesian Coordinate , 즉 데카르트 좌표계를 적용시키면 모든 벡터는 (그것이 영벡터가 아닌 이상) 하나의 화살표로 표시할 수 있었다. 이렇듯 단순한 벡터의 정의를 추상화하여 수학적으로 일반화한 것이 vector space의 개념이다. 벡터 공간은 아래와 같은 특정 조건을 만족하는 원소들을 모아놓은 집합이며, 이 집합의 원소를 벡터라고 정의한다. Definition. A vector space $V$ over a field $F$ consists of a set on which two op..