Mathematics

주어진 행렬을 LU decomposition을 한 뒤 $L$과 $U$ 행렬 각각의 inverse를 구하면 역행렬을 빠르게 구할 수 있다. 이때 triangular matrix의 inverse를 빠르게 계산하는 방법을 소개하려고 한다. 예컨대 다음과 같은 상삼각 행렬의 역행렬을 계산해 보자. $$U = \begin{pmatrix} 3 & 6 & 8 \\ 0 & 4 & 7 \\ 0 & 0 & 5 \end{pmatrix}$$  이때 각각의 성분에 대해서 따로따로 생각해 보자. Gauss elimination을 생각하면 역행렬의 대각 성분은 원행렬의 대각 성분의 역수가 된다. $$U^{-1} = \begin{pmatrix} \frac{1}{3} & * & * \\ 0 & \frac{1}{4} & * \\ 0 & ..

우리는 주어진 곡선 $C$가 얼마나 휘어있는지를 측정하고자 한다. 직관적으로 생각해보면 같은 원이라고 하더라도 반지름이 클수록 원은 국소적으로 덜 휘어있고, 반지름이 작을수록 더 휘어있다고 말할 수 있다. 그렇다면 이러한 곡선의 휜 정도를 나타내는 값, 즉 곡률을 어떤 곡선의 방정식이 주어졌을 때 어떤 방식으로 정의할 수 있을까? 한 가지 떠올릴 수 있는 방법은 tangent vector를 이용한 방법이다. 곡선의 tangent vector, 즉 속도는 곡선의 진행 방향과 평행한 접선 벡터인데, 곡선이 많이 휘어있다면 이동경로가 많이 뒤틀린다는 뜻이고 그만큼 tangent vector의 변화량이 크다는 뜻이다. 이는 곡률을 tangent vector의 변화량으로 측정할 수 있음을 시사한다. 이 값은 물리..

GroupDefinition 1. A group $\langle G, \ast \rangle$ is a set $G$, closed under a binary operation $\ast$, such that the following axioms are satisfied:(1) $\forall a, b, c \in G$, $(a \ast b) \ast c = a \ast (b \ast c)$(2) $\exists e \in G$ such that $\forall x \in G$, $e \ast x = x \ast e = x$(3) $\forall a \in G$, $\exists a' \in G$ such that $a \ast a' = a' \ast a = e$.

The Arithmetic-Geometric Mean InequalityTheorem 1. Let $a_1, ..., a_n > 0$. Then $$\frac{a_1 + \cdots + a_n}{n} \geq (a_1 \cdots a_n)^{\frac{1}{n}},$$ with the equality holds $\iff$ $a_j = a_1, \forall j, 2 \leq j \leq n$.Proof. Let $S$ be the set of all natural numbers which satisfy the given inequality. Cleary $1 \in S$. Firstly, we claim that $\{2^k \, | \, k \in \mathbb{N} \} \subseteq S$.$(..

Axiom of ChoiceAxiom of Choice. To any nonempty family $\mathcal{P}$ whose elements are nonempty sets, there exists a function called a choice function $$f : \mathcal{P} \longrightarrow \bigcap_{A \in \mathcal{P}} A$$ such that $f(A) \in A$ for all $A \in \mathcal{P}$. 다시 말해 임의의 집합족이 있을 때 집합족의 원소인 각 집합에서 하나씩 원소를 꺼내서 대응시키는 그러한 함수가 존재한다는 내용이다. 집합족이 유한할 때는 당연하지만, 문제는 무한한 경우이다. (문제는 항상 무한에서 발생한다.) 쉽..

CardinalityDefinition 1. We define the cardinality of a set $X$, denoted by card $X$, by satisfying the following properties: (1) Each set $A$ is associated with card $A$, and for each cardinality $a$ there is a set $A$ with card $A = a$.(2) Card $X = 0 \iff X = \emptyset$(3) If $X \sim \mathbb{N}_k$ for some $k \in \mathbb{N}$, then card $X = k$.(4) For any two sets $A$ and $B$, card $A$ = card..

Denumerable and Countable SetsDefinition 1. A set $X$ is said to be denumerable if $X \sim \mathbb{N}$. A countable set is a set which is either finite or denumerable.Countable set은 말 그대로 대상들을 하나하나 '셀 수 있는', 가산집합을 의미한다. 유한집합은 직관적으로도 당연히 셀 수 있다. 말 그대로 대상이 유한 개니까 시간은 좀 걸리더라도 언젠가 끝이 있기 때문이다. 그러나 무한집합의 경우는 어떻게 가능할까? 비록 세아려야 할 대상이 무한하지만, 각 대상이 모두 번호가 붙어 있어서 우리에게 그 번호의 규칙이 주어진다면 다른 의미에서 셀 수 있다고 말할 수 있..

EquipotentDefinition 1. Two Sets $X$ and $Y$ are said to be equipotent, symbolized as $X \sim Y$ provided that there exists a bijection $f : X \longrightarrow Y$.이때 $\sim$를 relation으로 정의할 수 있고 뿐만 아니라 동치 관계가 된다는 것을 쉽게 알 수 있다. 두 집합 사이의 bijection이 존재한다는 것은 집합의 각 원소를 일대일 대응시킬 수 있다는 말이고, 이는 두 집합의 크기가 같다는 말로도 이해할 수 있다. 이는 유한집합 뿐만 아니라 무한집합을 다룰 때에 매우 유용한 툴이라고 할 수 있다.Theorem 1Theorem 1. Let $X, Y, Z$ and..

Infinite SetsDefinition 1. A set $X$ is infinite if there is a proper subset $Y$ to be equipotent to $X$, that is, there is a bijection from $X$ to $Y$. A set is finite if it is not infinite.무한을 정의하기란 매우 어려운 일이다. 무한집합을 정의한 위 서술에서 '무한'이라는 말이 직접적으로 들어가 있지 않음에 주목하자. 이 정의는 언뜻 보면 쌩뚱맞지만, 우리가 직관적으로 생각하는 '무한' 집합에서만 볼 수 있는 특이한 성질이다. 예컨대 자연수 집합 $\mathbb{N}$을 생각하자. 이때 함수 $\sigma : \mathbb{N} \longrightarro..

Composition of FunctionsDefinition 1. Let $f : X \longrightarrow Y$ and $g : Y \longrightarrow Z$ be functions. The composition of $f$ and $g$ is the function $g \circ f : X \longrightarrow Z$ where $(g \circ f)(x) = f(g(x)), \forall x \in X$. In other words, $$g \circ f = \{(x, z) \in X \times Z \, | \, \exists y \in Y \text{ such that } (x, y) \in f \wedge (y, z) \in g\}.$$