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Second-Order Linear Homogeneous ODE다음과 같은 2계 선형 동차 미분방정식이 있다고 하자.

\ddot{x} + b \dot{x} + k x = 0

$\ddot{x}+b\dot{x}+kx = 0$ 이때 함수

x (t) = e^{r t}

$x(t) = e^{rt}$ 가 이 방정식을 만족함이 알려져 있고, 대입하여 정리하면 다음과 같다.

e^{r t} (r^{2} + b r + k) = 0

$e^{rt}(r^2 + br + k) = 0$ 따라서

r^{2} + b r + k = 0

$r^2+br+k = 0$ 이고, 이 방정식을 풀어서

r

$r$ 값을 결정해 주면 될 것이다. 이때 이러한 방정식을 auxiliary equation이라고 부른다. Auxiliary equation이 중근을 가지지 않는 한

r

$r$ 은 두 개의 값이 나오므로 함수

x = e^{r t}

$x = e^{rt}$ 는 두 개의 형태를 가지는데, 미분은 선형 연산자이므로 두 형태의 선형 결합이 최종적인 미분방정식의..

Thermodynamic potential을 정의하면서 언급했듯이, 일반적으로 엔트로피는 쉽게 측정되거나 조절될 수 있는 값이 아니다. 따라서 엔트로피를 변수로 가지는 내부 에너지나 엔탈피를 르장드르 변환하여서 헬름홀츠 자유 에너지나 깁스 자유 에너지를 얻었듯이 엔트로피와 관계된 편미분을 다른 값들로 변환할 수 있고, 이렇게 얻은 식들을 Maxwell's relation이라고 부른다. Exact differential을 갖는 함수

f

$f$ 는

d f = {(\frac{\partial f}{\partial x})}_{y} d x + {(\frac{\partial f}{\partial y})}_{x} d y

$df = \left( \frac{\partial f}{\partial x} \right)_y dx + \left( \frac{\partial f}{\partial y} \right)_x dy$ 와 같이 쓸 수 있고,

d f = F_{x} d x + F_{y} d y

$df = F_x dx + F_y dy$ 를 ..

Thermodynamic PotentialsInternal Energy Internal Energy.

\begin{aligned} U & = U (S, V) \\ d U & = T d S - P d V \\ ⟹ T & = {(\frac{\partial U}{\partial S})}_{V} and P = - {(\frac{\partial U}{\partial V})}_{S} \end{aligned}

$\begin{align*} U & = U(S, V) \\ dU & = TdS - P dV \\ \Longrightarrow T & = \left( \frac{\partial U}{\partial S} \right)_V \quad \text{ and } \quad P = - \left( \frac{\partial U}{\partial V} \right)_S \end{align*}$ 열역학 제 1법칙에 의해 다음이 성립한다.

d U = T d S - P d V

$dU = TdS - P dV$ 따라서

U = U (S, V)

$U = U(S, V)$ 이고 이때

S

$S$ 와

V

$V$ 는

U

$U$ 의 natural variable이라고 불린다. Enthalpy엔탈피

H

$H$ 는 $..

TensorA tensor of rank

n

$n$ in a

d

$d$ -dimensional space란 1부터

d

$d$ 까지의 값을 가지는

n

$n$ 개의 인덱스로 주어지는 component들을 가지는 object다. 예를 들어 rank 2의 3차원 텐서

A

$A$ 는 인덱스가

2

$2$ 개이고, 각 인덱스는 1부터 3까지의 값을 갖는다. 따라서

A_{i j} (1 \leq i, j \leq 3)

$A_{ij} (1 \leq i, j \leq 3)$ 과 같이 표현될 수 있고, 이는 3 by 3 matrix의 개념과 동일하다. 이와 같이 기존의 object들을 텐서라는 개념으로 일반화시킬 수 있고, 예컨대 스칼라는 rank 0 텐서, 벡터는 rank 1 텐서, 행렬은 rank 2 텐서이다. Levi-Civita symbol 같은 경우 rank 3 텐서다. Contravariant, ..

Curvilinear Coordinates and Scale Factors공간 상의 어떤 점의 좌표가 Cartesian coordinates에서

(x, y, z)

$(x, y, z)$ 로 표현된다고 하자. 이때 다른 좌표계에서 이 점의 좌표를 표현했을 때 일반적으로 좌표가 어떻게 얻어지는지 구하고자 한다. 우선 어느 좌표계든 orthogonal하다고 가정한다. 즉 각 좌표계의 단위벡터들은 서로 perpendicular하다. 바꾸고자 하는 좌표계가

(q_{1}, q_{2}, q_{3})

$(q_1, q_2, q_3)$ 로 기술된다고 할 때,

x, y, z

$x, y, z$ 는 각각

q_{1}, q_{2}, q_{3}

$q_1, q_2, q_3$ 의 함수로 표현된다고 가정하자.

r = x \hat{x} + y \hat{y} + \hat{z}

$\mathbf{r} = x\mathbf{\hat{x}} + y \mathbf{\hat{y}} + \mathbf{\hat{z}}$ 라고 할 때,..

GradientCartesian coordinate

R^{3}

$\mathbb{R}^3$ 의 position vector를

r = x_{1} \hat{e_{1}} + x_{2} \hat{e_{2}} + x_{3} \hat{e_{3}}

$\mathbb{r} = x_1 \mathbf{\hat{e_1}} + x_2 \mathbf{\hat{e_2}} + x_3 \mathbf{\hat{e_3}}$ 이라 하자. 스칼라 함수

φ : R^{3} \to R

$\varphi : \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}$ 에 대하여 그 differential은

d φ = \frac{\partial φ}{\partial x_{1}} d x_{1} + \frac{\partial φ}{\partial x_{2}} d x_{2} + \frac{\partial φ}{\partial x_{3}} d x_{3}

$d \varphi = \frac{\partial \varphi}{\partial x_1} dx_1 + \frac{\partial \varphi}{\partial x_2} dx_2 + \frac{\partial \varphi}{\partial x_3} dx_3$ 으로 주어진다. 이때 $$\nabla \varp..

Maxwell-Boltzmann DistributionMaxwell-Boltzmann Distribution은 이상 기체를 구성하는 입자의 speed의 확률 분포이다. 즉 이상 기체를 이루는 입자의 속도의 크기, 즉 속력

v

$v$ 를 random variable로 두자. 이때 ideal gas는 부피가 0이고 입자간 interaction이 없으므로 완벽하게 random하게 움직인다고 볼 수 있고, 따라서 속도의 방향은 모두 equally probable하다고 가정할 수 있다. 이때 주어진 온도 하에서 속도의 크기의 확률 분포를 알아보자는 것이다.

v

$v$ 는 continuous하므로 속력이

v \sim v + d v

$v \sim v + dv$ 라는 구간에서 주어질 확률은

P (v) d v

$P(v) dv$ 로 주어진다. 이때

x

$x$ 성분만을 고려해서 생각..

Temperature전체 에너지가

E

$E$ 로 고정되고 volume과 the nubmer of particles이 고정된 thermodynamic system이 있고, 이 system을 정확히 절반으로 나누어서 각각

E_{1}

$E_1$ 과

E_{2}

$E_2$ 의 에너지를 가지고 thermal contact 중에 있어서 열을 교환할 수 있는 independent한 두 개의 계로 구분하자. 이러한 energy distinction의 가정은 충분히 정당화될 수 있다. Thermodynamic limit를 고려할 때 우리는 에너지와 같은 물리량을 extensive variable로 정의할 수 있었다. 즉 system의 size에 dependent한 변수다. 만약 쌍성계와 같이, 중력에 의해 강력하게 interaction하는 system..

Central Limit Theorem

N

$N$ 이 매우 크다고 가정할 때, 서로 독립인

N

$N$ 개의 random variable

X_{i}

$X_i$ 에 대해서

Y = \frac{1}{N} \sum_{i = 1}^{N} X_{i}

$Y = \frac{1}{N}\sum_{i=1}^N X_i$ 로 정의하자. 각 변수는 동일한 분포를 따르고(어떤 분포인지는 중요하지 않다) fat tail를 가지지 않는, 즉 충분히 빠르게 decay한다고 가정한다. 이런 경우

Y

$Y$ 의 분포는 정규분포로 근사됨을 보장해주는 정리가 central limit theorem, 중심 극한 정리이다. 위와 같이 정의한

Y

$Y$ 는

N

$N$ 개의 확률 변수

X_{i}

$X_i$ 들의 산술 평균이다. 각 확률 변수들을 동일한 분포에서 랜덤하게 추출했으므로 평균과 표준편차는 모두 같을 것이고, 이를 각각

⟨ X ⟩

$\langle X \rangle$ , $\s..

Rotation2 dimesion Cartesian coordinate에 점

(x, y)

$(x, y)$ 가 주어졌다고 하자. 이때 기존 좌표계를 원점을 기준으로 반시계 방향으로

θ

$\theta$ 만큼 회전했을 때 기존 점의 좌표와 변경된 점의 좌표

(x^{'}, y^{'})

$(x', y')$ 는 다음의 관계식을 통해 기술된다.

(\begin{matrix} x^{'} \\ y^{'} \end{matrix}) = (\begin{matrix} \cos θ & \sin θ \\ - \sin θ & \cos θ \end{matrix}) (\begin{matrix} x \\ y \end{matrix})

$\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos \theta & \sin \theta \\ - \sin \theta & \cos \theta \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ 이때 $$S = \begin{pmatrix} \cos \theta & \sin \theta \\ - \sin \theta &..

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