CommutatorDefinition 1. Let $A$ and $B$ be the square matrices with the same size. The commutator $[A, B]$ of $A$ and $B$ is defined by $[A, B] = AB - BA$.

PermutationDefinition 1. A permutation of a set $A$ is a function $\phi : A \rightarrow A$ that is bijective. Remark. Let denote the function composition $\sigma \circ \tau$ for permutations $\sigma$, $\tau$ by $\sigma \tau$. Then $\sigma \tau$ is bijective.임의의 자연수 $n$에 대해 집합 $A = \{ 1, 2, ..., n \}$가 주어져 있다. 이때 $A$의 permutation, 즉 치환은 각 자연수를 다른 자연수로 보내는 작용을 하는 함수이며, 한마디로 순서를 바꿔주는 함수이다. Symmetri..

Probability열역학에서는 subjective probability, 즉 Bayesian probability를 사용한다. 베이지안 확률은 동전을 던졌을 때 앞 혹은 뒷면이 나올 확률은 각각 $\frac{1}{2}$라고 엄격한 논증 없이 주장하는 식의 확률이다.  이와 반대로 objective probability, 즉 빈도적 확률도 존재한다. 어떤 시행을 무작위적으로 한다고 했을 때 그 결과로 A라는 사이 발생할 수 있다고 하자. 이때 시행을 반복하면서 실제로 A가 일어나는 경우를 하나씩 카운트할 수 있고, A가 일어날 확률은 $P_A = \lim_{N \to \infty} \frac{N_A}{N}$으로 주어진다. 이때 $N$은 전체 시행하는 횟수이며 $N_A$는 A가 일어나는 횟수이다. 이는 지..

Complex NumberDefinition 1. A complex number is an ordered pair of two real numbers, $(a, b)$. We define addition of two complex numbers $z_1 = (x_1, y_1), z_2 = (x_2, y_2)$ as $z_1 + z_2 = (x_1, y_1) + (x_2, y_2) = (x_1 + x_2, y_1 + y_2)$, and also define multiplication as $z_1z_2 = (x_1, y_1) \cdot (x_2, y_2) = (x_1x_2 - y_1y_2, x_1y_2 + x_2y_1)$. Let Define $i$ by $i = (0, 1)$. Note that $i^2..

Thermal ContactDefinition 1. The two bodies are said to be in thermal contact if they are able to exchange energy spontaneously.Thermal contact란 mechanical한 접촉과는 다르게, 두 계가 어떤 방식으로든 에너지를(즉, 열의 형태로) 주고 받을 수 있는 상태를 의미한다. 두 물체가 빈 공간에 떨어져 있더라도 전자기파를 방출하여 상호작용한다면, 이 역시 thermal contact로 볼 수 있다. 반대로, 두 물체가 에너지를 주고 받지 못하도록 단열재와 같은 물질을 끼워 넣는다면 두 물체는 thermal contact 상태에 있지 않는다. Thermal EquilibriumDefinitio..

Heat CapacityHeat은 분명히 energy "in transit"으로 특정 system이 heat을 얼마나 contatin하는지 언급할 수 없다고 했다. 오직 이동 중에만 언급할 수 있는 물리량이기 때문이다. 때문에 heat의 capacity를 얘기한다는 것이 다소 awkward하게 느껴질텐데, 이는 아직 열에 대한 이해가 깊어지기 전 이미 capacity라는 용어를 사용해 버렸기 때문이다. 어떤 의미에서 heat capacity 보다는 "energy capacity"가 더 어울리는 이름이다. Historically heat은 칼로릭 이론으로 이해되었다. 다시 말해 유체와 같이 고온체에서 저온체로 흐르는 어떠한 물질로 이해되었다. 그러나 ethane과 같은 volatile liquid의 경우..

The First Law of Thermodynamics$$\Delta U = W + Q,$$ where $\Delta U$ is the internal energy, $W$ is the work, and $Q$ is the heat.한마디로 말해서 열역학 제1법칙은 에너지 보존 법칙이다. 후술하겠지만, 일과 열은 모두 에너지의 한 종류이며 따라서 어떤 system의 내부 에너지는 열과 일의 형태로 변환되고, 그 총량은 항상 보존된다. 다만 system의 상태에 따라 여러 조건들이 추가될 수는 있다. 예를 들어 isolated system의 경우 에너지를 exchange하지 않는다. 또는 diathermal system은 heat를 exchange할 수 있는 반면, adiabatic system은 그렇..

Binomial Series정수 $m$에 대하여 함수 $f(x) = (1+x)^m$를 고려하자. 이때 remainder 항을 포함하여 $f(x)$를 power series로 작성하면 다음과 같다. $$(1+x)^m = 1 + mx + \frac{m(m-1)}{2!} x^2 + \cdots + R_n$$ 이때 $R_n$은 $$R_n = \frac{x^n}{n!}(1 + \xi)^{m-n} m(m-1) \cdots (m-n+1)$$이고, $\xi \in [0, x]$이다. 정의역을 $x \geq 0$으로 제한하자. $n > m$인 경우에 대하여 $(1 + \xi)^{m-n}$은 $\xi = 0$일 때 최댓값 $1$을 가진다. 따라서 $|R_n| \leq \frac{x^n}{n!} |m(m-1) \cdots ..

Taylor Series함수 $f(x)$가 $a \leq x \leq b$에서 continuous $n$th derivative를 가진다고 가정하자. 이때 다음의 적분을 계산하자. $$\int_a^x f^{(n)}(x_1)dx_1 = f^{(n-1)}(x_1) \Big|_a^x = f^{(n-1)}(x) - f^{(n-1)}(a), \\     \int_a^x dx_2 \int_a^{x_2} f^{(n)}(x_1)dx_1 = \int_a^x dx_2 \left[ f^{(n-1)}(x_2) - f^{(n-1)}(a) \right] \\ = f^{(n-2)}(x) - f^{(n-2)}(a) - (x-a) f^{(n-1)}(a), \\     \int_a^x dx_3 \int_a^{x_3} dx_2 \int_..

Building BlocksFundamental한 수준의 thermal physics를 다뤄보자. 이 과목의 가장 큰 특징은 many building blocks of physics를 알아야 하는 것이다. Building block이란 atom, molecule과 같은 어떤 물질을 이루는 구성 요소를 통칭하여 일컫는 말이다. 그렇다고 각 particle의 atomic scale을 다루는 것은 아니다. $N$을 particle의 개수라고 할 때, 우리는 $N >>> 1$인 물질과 그러한 상황을 기술하고 싶다는 것이다. Thermal Physics본 교재에서는 thermal physics를 크게 Thermodynamics, Statistical Mechanics, Kinetic Theory의 세 가지 분야로..