Taylor Series함수 $f(x)$가 $a \leq x \leq b$에서 continuous $n$th derivative를 가진다고 가정하자. 이때 다음의 적분을 계산하자. $$\int_a^x f^{(n)}(x_1)dx_1 = f^{(n-1)}(x_1) \Big|_a^x = f^{(n-1)}(x) - f^{(n-1)}(a), \\     \int_a^x dx_2 \int_a^{x_2} f^{(n)}(x_1)dx_1 = \int_a^x dx_2 \left[ f^{(n-1)}(x_2) - f^{(n-1)}(a) \right] \\ = f^{(n-2)}(x) - f^{(n-2)}(a) - (x-a) f^{(n-1)}(a), \\     \int_a^x dx_3 \int_a^{x_3} dx_2 \int_..

Building BlocksFundamental한 수준의 thermal physics를 다뤄보자. 이 과목의 가장 큰 특징은 many building blocks of physics를 알아야 하는 것이다. Building block이란 atom, molecule과 같은 어떤 물질을 이루는 구성 요소를 통칭하여 일컫는 말이다. 그렇다고 각 particle의 atomic scale을 다루는 것은 아니다. $N$을 particle의 개수라고 할 때, 우리는 $N >>> 1$인 물질과 그러한 상황을 기술하고 싶다는 것이다. Thermal Physics본 교재에서는 thermal physics를 크게 Thermodynamics, Statistical Mechanics, Kinetic Theory의 세 가지 분야로..

Ideal GasDefinition 1. Ideal gas is a system of non-interacting particles. (no potential interaction)현실적인 입자라면 입자들 사이에 작용하는 여러 가지 종류의 인력이 있다. 그러나 ideal gas는 말 그대로 ideal한 조건들을 적용시켜서 현실의 입자들을 모델링한 개념이다. 즉 입자들 사이의 interaction이 없다고 가정한다. 이는 다시 말해 potential function이 없다는 것과 동일하다. 또한 random elastic collision을 항상 가정하고, 이에 따라 random motion을 갖는다고 가정한다. Fundamental한 수준의 Thermal Physics에서는 ideal gas가 monat..

Stirling's FormulaStirling's Formula. $$\ln n! \approx n \ln n - n + \frac{1}{2} \ln 2 \pi n \\ \iff n! = e^{n \ln n - n} \cdot e^{\sqrt{2 \pi n}}$$우변의 마지막 항인 $\frac{1}{2} \ln 2 \pi n$은 상황에 따라 생략해도 큰 오차를 낳지 않는다.  열물리학에서는 $N >>> 1$인 상황, 다시 말해 고려하는 입자의 개수가 아보가드로 수 $N_A$ 정도로 큰 경우를 다루고, 각 입자가 가지는 state를 카운팅하는 상황이 자주 등장한다. 때문에 combinatorial한 계산을 주로 하고, 이때 매우 큰 숫자의 팩토리얼 연산을 매번 하기란 쉽지 않기 때문에 위의 스털링 공식을..

아마 고등학교까지, 혹은 마찰력을 배우기 전까지 다룬 거의 대부분의 물리 상황은 아마 마찰력이 없다는 가정 하에 진행되었을 것이다. 그래서 마찰이 없는, 마치 아주 미끄러운 얼음판과 같은 이상적인 상황이 가정되었다. 그러나 일반적으로 마찰력은 항상 존재하니 마찰을 고려해서 상황을 분석하는 것이 상대적으로 완전하다고 할 수 있다. 이번 포스트에서는 일반물리학 수준에서의 마찰력을 다뤄볼 것이다. 마찰력(Force of friction)의 정의는 다음과 같다. 정의 1. 마찰력은 물체가 표면 위를 움직이거나 점성이 있는 매질 속에서 운동할 때 주변과의 상호작용으로 받는 저항력이다. 마찰력은 크게 정지 마찰력(Force of static friction)과 운동 마찰력(Force of kinetic fricti..

1897년, 톰슨(J. J. Thomson)은 음극선 실험을 통해 전자의 존재를 규명했다. 교과서에서 음극선 실험을 소개할 때 주로 톰슨의 이름만 등장하는 것과는 달리, 음극선 실험은 대략 50년 전부터 이미 그 연구가 활발히 진행되었었다. 다만 결정적으로 음극선이 '전자'라는 아원자임을 밝혀낸 것은 톰슨이기에 주로 그가 수행한 음극선 실험이 많은 이들에게 알려져 있다. 톰슨은 전자가 음의 전하를 띠는 입자임을 밝혀냈지만, 그 전하량과 질량을 각각 밝혀내진 못했다. 그러나 전하량과 질량의 비인 '비전하'값 $\frac{e}{m}$을 알아냈는데, 이 포스트에서는 톰슨이 비전하를 측정한 과정을 소개하고자 한다. 실험 기구는 Figure 1과 같다. 왼쪽부터 음극판 C와 음극선이 통과할 수 있는 두 개의 슬릿..

62) 조화진동자 마지막으로 조화진동자(Harmonic oscillator)의 경우를 살펴보. 조화진동자란 평형점으로부터 변위 $x$를 일으킨 입자에 복원력 $F = -kx$가 작용하여 각진동수 $w = \sqrt{\frac{k}{m}}$로 평형점을 중심으로 진동하는 입자를 의미한다. 이 입자의 퍼텐셜은 $V = \frac{1}{2}kx^2$으로 주어지고, 따라서 슈뢰딩거 방정식은 $$\frac{d^2 \psi}{dx^2} + \frac{2m}{\hbar^2}(E - \frac{1}{2}kx^2)\psi = 0$$이다. 이 방정식을 푸는 방법은 복잡하므로 이 포스트에서는 결과만 소개하고자 한다. 이 방정식을 풀어서 파동함수 $\psi(x)$가 행실이 좋은 파동함수가 되기 위해서 조화진동자의 에너지는 $E..

60) 유한 퍼텐셜 우물 앞서 무한 퍼텐셜 우물의 경우를 살펴보았다. 그러나 실제로 입자가 계를 탈출하기 위해 무한한 퍼텐셜 에너지가 필요한 경우는 없으므로, 유한한 퍼텐셜 에너지의 경우를 살펴보는 것이 보다 더 현실적일 것이다. Figure 1과 같이 $x \leq -a \wedge x \geq a$에 해당하는 영역 I, III에서 퍼텐셜은 $V_0$의 값을 가진다. 즉 $V_0$보다 작은 에너지를 가지고 있는 입자는 상자를 벗어날 수 없다. 편의상 이 포스트에서 입자는 항상 $V_0$보다 작은 운동에너지 $E$를 가지고 있다고 가정한다. 무한 퍼텐셜 우물에서는 상자 밖 영역, 즉 I과 III에서 입자를 발견할 확률은 0이었다. 그렇다면 유한 퍼텐셜 우물에서도 그러한지 확인해 보자. 우선 영역 I, I..

이번 포스트부터는 본격적으로 다양한 상태에 놓인 입자에 대해 슈뢰딩거 방정식을 풀어볼 것이다. 다만 수학적으로 엄밀하지는 못하며, 기본적인 컨셉을 소개하는데 그치는 점을 양해 바란다. 58) 자유입자 자유입자(Free particle)란 주변과 아무런 상호작용을 하지 않는 입자를 말한다. 빈 우주 공간에 홀로 있는 입자를 상상하면 적당할 것이다. 즉 주변으로부터 힘을 받지 않기 때문에 퍼텐셜이 존재하지 않는다. 이때 시간 무관 슈뢰딩거 방정식은 $$-\frac{\hbar^2}{2m} \frac{d^2 \psi(x)}{dx^2} = E\psi(x)$$으로 기술된다. 이때 $$-\frac{\hbar^2}{2m} \frac{d^2 \psi(x)}{dx^2} = E\psi(x) \Longrightarrow \f..

57) 슈뢰딩거의 고양이 아인슈타인이 코펜하겐 해석에 대하여 반론을 펼쳤던 것처럼, 슈뢰딩거 또한 자신이 만들어낸 파동함수가 확률론적으로 해석되는 것을 달가워 하지 않았다. 이에 슈뢰딩거는 1935년 이러한 코펜하겐 해석에 반발하여 '슈뢰딩거 고양이'(Schrodinger's cat)라는 사고실험을 제안했다. 실험의 내용은 다음과 같다. 상자 안에는 시간 당 50%의 확률로 붕괴하는 라듐핵과 핵이 붕괴하여 방출하는 $\alpha$입자를 검출하는 가이어 계수기, 그리고 망치와 독약을 넣은 유리병, 고양이가 있다. 만일 가이어 계수기가 $\alpha$입자를 검출하면 망치가 유리병을 깨서 고양이가 죽게 된다. 이때 1시간이 지난 뒤 고양이는 살았을까, 죽었을까? 고전적인 물리, 즉 비양자론적인 입장의 물리학자..