Maxwell-Boltzmann DistributionMaxwell-Boltzmann Distribution은 이상 기체를 구성하는 입자의 speed의 확률 분포이다. 즉 이상 기체를 이루는 입자의 속도의 크기, 즉 속력 $v$를 random variable로 두자. 이때 ideal gas는 부피가 0이고 입자간 interaction이 없으므로 완벽하게 random하게 움직인다고 볼 수 있고, 따라서 속도의 방향은 모두 equally probable하다고 가정할 수 있다. 이때 주어진 온도 하에서 속도의 크기의 확률 분포를 알아보자는 것이다. $v$는 continuous하므로 속력이 $v \sim v + dv$라는 구간에서 주어질 확률은 $P(v) dv$로 주어진다. 이때 $x$ 성분만을 고려해서 생각..

Temperature전체 에너지가 $E$로 고정되고 volume과 the nubmer of particles이 고정된 thermodynamic system이 있고, 이 system을 정확히 절반으로 나누어서 각각 $E_1$과 $E_2$의 에너지를 가지고 thermal contact 중에 있어서 열을 교환할 수 있는 independent한 두 개의 계로 구분하자. 이러한 energy distinction의 가정은 충분히 정당화될 수 있다. Thermodynamic limit를 고려할 때 우리는 에너지와 같은 물리량을 extensive variable로 정의할 수 있었다. 즉 system의 size에 dependent한 변수다. 만약 쌍성계와 같이, 중력에 의해 강력하게 interaction하는 system..

Central Limit Theorem$N$이 매우 크다고 가정할 때, 서로 독립인 $N$개의 random variable $X_i$에 대해서 $Y = \frac{1}{N}\sum_{i=1}^N X_i$로 정의하자. 각 변수는 동일한 분포를 따르고(어떤 분포인지는 중요하지 않다) fat tail를 가지지 않는, 즉 충분히 빠르게 decay한다고 가정한다. 이런 경우 $Y$의 분포는 정규분포로 근사됨을 보장해주는 정리가 central limit theorem, 중심 극한 정리이다.  위와 같이 정의한 $Y$는 $N$개의 확률 변수 $X_i$들의 산술 평균이다. 각 확률 변수들을 동일한 분포에서 랜덤하게 추출했으므로 평균과 표준편차는 모두 같을 것이고, 이를 각각 $\langle X \rangle$, $\s..

Microstates and Macrostates앞, 뒤가 나올 확률이 동일한 공정한 동전 100개가 있고, 이 동전 100개를 상자 안에 넣고 흔든 뒤 앞뒤의 분포가 어떤지 확인한다고 하자. 이때 이 분포를 counting하는 두 가지 방법이 있다. 하나는 앞면이 총 몇 개, 뒷면이 총 몇 개인지 헤아려서 앞뒷면의 개수로 분포를 얘기하는 방법이고, 다른 하나는 실제로 각 동전 하나하나가 어떤 면을 가리키는지 그 configuration을 전부 헤아려서 가능한 모든 경우의 수로 분포를 얘기하는 방법이다. 이때 전자를 주어진 system의 macrostate, 후자를 microstate이라고 부른다.  기체의 경우로 생각해보자. 우선 기체가 매우 많은 숫자의 building blocks, 예컨대 collo..

부피가 $V$로 고정된 어떤 box안에 $N$개의 particle들이 들어있다. 각 particle은 독립적으로 거동하며 ideal gas을 가정한다. 이때 가상적으로 $V'$의 볼륨을 가지는 mini box를 만들자. 입자들은 자유롭게 box안을 드나들 수 있고, $V'$의 부피를 가지는 영역에 있을 수도 있고, 그 밖에 있을 수도 있다. 이때 $N$개의 particle들이 모두 이 mini box 안에 들어있을 확률은 얼마일까?  자명하게 $\frac{V'}{V}$이다. 그렇다면 $k$개의 입자가 $V'$ 상자에 들어있을 확률은 무엇일까? 각각은 mini box에 들어있냐, 들어있지 않냐의 결괏값을 가지므로 binomial distribution으로 생각할 수 있고, 그 확률은 $$\binom{N}{..

Random Walk금요일 저녁, 오늘도 대학가는 한 주간의 노고를 달래기 위해 몰려온 대학생들로 가득하다. 이때 잔뜩 취한 듯한 우리의 관측 대상이 한 가게에서 발견되었다! 관측 대상은 종잡을 수 없는 움직임으로 비틀대며 길가를 활보한다. 이때 일정 시간이 지나고 특정 지점에 우리의 관측 대상이 발견될 확률은 얼마나 될까?  가게의 위치를 원점으로 잡고, 관측 대상은 원점에서 출발해 $x$축 위에서 움직인다고 하자. 우리는 $x$축을 discretize하여서 단위 길이를 $l$로 둘 것이다. 즉 관측 대상은 '한 번' 움직일 때 $l$만큼 이동할 수 있다. 그리고 관측 대상은 $-l$만큼 움직일 것인지, $+l$만큼 움직일 것인지 반반의 확률로 판단을 한다고 가정하자. 즉 각 case를 선택할 확률은 ..

Probability열역학에서는 subjective probability, 즉 Bayesian probability를 사용한다. 베이지안 확률은 동전을 던졌을 때 앞 혹은 뒷면이 나올 확률은 각각 $\frac{1}{2}$라고 엄격한 논증 없이 주장하는 식의 확률이다.  이와 반대로 objective probability, 즉 빈도적 확률도 존재한다. 어떤 시행을 무작위적으로 한다고 했을 때 그 결과로 A라는 사이 발생할 수 있다고 하자. 이때 시행을 반복하면서 실제로 A가 일어나는 경우를 하나씩 카운트할 수 있고, A가 일어날 확률은 $P_A = \lim_{N \to \infty} \frac{N_A}{N}$으로 주어진다. 이때 $N$은 전체 시행하는 횟수이며 $N_A$는 A가 일어나는 횟수이다. 이는 지..

Thermal ContactDefinition 1. The two bodies are said to be in thermal contact if they are able to exchange energy spontaneously.Thermal contact란 mechanical한 접촉과는 다르게, 두 계가 어떤 방식으로든 에너지를(즉, 열의 형태로) 주고 받을 수 있는 상태를 의미한다. 두 물체가 빈 공간에 떨어져 있더라도 전자기파를 방출하여 상호작용한다면, 이 역시 thermal contact로 볼 수 있다. 반대로, 두 물체가 에너지를 주고 받지 못하도록 단열재와 같은 물질을 끼워 넣는다면 두 물체는 thermal contact 상태에 있지 않는다. Thermal EquilibriumDefinitio..

Heat CapacityHeat은 분명히 energy "in transit"으로 특정 system이 heat을 얼마나 contatin하는지 언급할 수 없다고 했다. 오직 이동 중에만 언급할 수 있는 물리량이기 때문이다. 때문에 heat의 capacity를 얘기한다는 것이 다소 awkward하게 느껴질텐데, 이는 아직 열에 대한 이해가 깊어지기 전 이미 capacity라는 용어를 사용해 버렸기 때문이다. 어떤 의미에서 heat capacity 보다는 "energy capacity"가 더 어울리는 이름이다.  Historically heat은 칼로릭 이론으로 이해되었다. 다시 말해 유체와 같이 고온체에서 저온체로 흐르는 어떠한 물질로 이해되었다. 그러나 ethane과 같은 volatile liquid의 경우..

The First Law of Thermodynamics$$\Delta U = W + Q,$$ where $\Delta U$ is the internal energy, $W$ is the work, and $Q$ is the heat.열역학 제1법칙은 thermodynamic system에 대한 정보를 말해준다. 우리가 고려하는 system 외부, 나머지를 environment 혹은 surrounding라고 부른다. System은 그 system을 구성하고 있는 particle들의 state, 즉 thermodynamic variables로 describe된다. Ideal gas equation에 의하면, 우리가 system의 volume과 pressure을 안다면 temperature도 알 수 있다. ..