Mathematics/Calculus

Simply Connected RegionDefinition 1. Let $D$ be an open region. (1) $D$ is connected if any two points in $D$ can be joined by a smooth curve that lies in the region.(2) $D$ is simply connected if every loop in $D$ can be contracted to a point in $D$ without every leaving $D$.말 그대로, 영역 $D$ 안에 임의의 두 점이 그 영역 안에 포함된 곡선에 의해 연결될 수 있다면 $D$는 connected region이다. 만약 $D$가 겹치치 않는 두 disk이고 각 disk에서 한 점씩 뽑아보..

Fundamental Theorem of Line IntegralTheorem 1. Let $C$ be a smooth curve joining the point $A$ to the point $B$ in the plane or in space and parametrized by $\mathbf{r}(t)$. Let $f$ be a differentiable function with a continuous gradient vector $\mathbf{F} = \nabla f$ on a domain $D$ containing $C$. Then $$\int_C \mathbf{F} \cdot d \mathbf{r} = f(B) - f(A).$$ Proof. Suppose that $\mathbf{r}(t) = ..

Path IndependenceDefinition 1. Let $\mathbf{F}$ be a vector field defined on an open region $D$ in space, and suppose that for any two points $A$ and $B$ in $D$ the line integral $\int_C \mathbf{F} \cdot d \mathbf{r}$ along a path $C$ from $A$ to $B$ in $D$ is the same over all paths from $A$ to $B$. Then the integral $\int_C \mathbf{F} \cdot d \mathbf{r}$ is path independent in $D$ and the fiel..

CirculationDefinition 1. If $\mathbf{r}(t)$ parametrizes a smooth curve $C$ in the domain of a continuous velocity field $\mathbf{F}$, the flow along the curve from $A = \mathbf{r}(a)$ to $B = \mathbf{r}(b)$ is $$\int_C \mathbf{F} \cdot d \mathbf{r}.$$ If the curve starts and ends at the same point, so that $A = B$, the flow is called the circulation around the curve.$A = B$인 경우, 즉 $$\oint_C \ma..

Directional derivative를 도입하여 미분의 방향을 굳이 $x, y$축으로 한정할 필요가 없었듯이, 적분 또한 $x, y, z$에 대해서만이 아니라 일반적인 곡선 위에서 정의할 수 있다. 함수 $f(x, y)$가 $\mathbb{r}(t) = \langle x(t), y(t) \rangle (a \leq t \leq b)$ 위에서 정의된다고 하자. 늘 그래왔던 것처럼 $C$를 $n$조각으로 짤라 partition을 구성하고, 각 piece의 길이를 $\Delta s_k$라 하자. 각 piece에서 임의로 point들을 추출하여 Riemann sum을 구성하면  $$\sum_{k=1}^n f(x_k, y_k) \Delta s_k$$ 이고, $n$의 크기를 무한히 증가시킬 때 partition의 ..

Double integral에서 substitution rule을 다뤄보자. 기존에 $xy$ 평면에서 나타내진 함수 $f(x, y)$를 $uv$ 평면에서 나타내고자 한다. Single variable에서 $x=g(u)$로 두면 $dx = g'(u) du$가 성립했었다. 즉 $x$에서 $u$로 변수를 바꾸기 위해서는 일종의 '보정 상수'의 역할을 하는 $g'(u)$와 같은 것이 double integral에서도 존재할 것이라 예측할 수 있다. 실제로 그러한 factor가 존재하고 Jacobian이라고 부른다.JacobianDefinition 1. The Jacobian determinant or Jacobian of the coordinate transformation $x = g(u, v), y = h(..

Triple Integral일변수 함수의 definite integral, double integral과 다를 바 없다. 마찬가지로 rectangular region $D$를 (box 형태가 된다) $x, y, z$ 축으로 잘게 쪼개 partition을 구성하고 가장 작은 모서리를 norm으로 정의한 뒤 함수 $F(x, y, z)$의 Riemann sum을 정의한다. 이때 $k$번째 부피 조각은 $\Delta V_k = \Delta x_k \Delta y_k \Delta z_k$가 된다. 그리고 norm이 0으로 가는 극한을 취해준 뒤 partition과 point에 무관하게 극한값이 존재하면 integrable하다고 말하고, $$\iiint_D F(x, y, z) dV$$ 라고 쓴다.  마찬가지로 reg..

Wallis's Integral $$\begin{align} &(1) \quad I_n = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin ^n x dx = \frac{n-1}{n} I_{n-2} \\ &(2) \quad I_m = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos ^m x dx = \frac{m-1}{m} I_{m-2}. \end{align}$$ 공부하다보면 구간이 $0$부터 $\frac{\pi}{2}$까지 일 때 $\sin, \cos$의 거듭제곱을 적분해야 하는 상황이 의외로 자주 발생한다. 이때 이 값을 매번 구하려면 귀찮으므로, Wallis's Integral, 월리스 적분이라고 불리는 공식을 사용하도록 하자.  유도 과정은 Integration by parts를 사용하여 다..

Double IntegralTwo-variable function의 definite ingetral을 다뤄보자. Single variable에서 정의한 definite integral과 별반 다를 건 없다. 다만 변수가 두 개가 되었으므로 partition이라든지, norm이라든지 하는 대상을 조금 확장하여서 정의하고 이를 기반으로 Riemann sum과 그 극한으로 double integral을 정의한다. 함수 $z = f(x, y)$가 있다. 일변수에서는 interval을 잘게 쪼갰다면, 이제는 rectangular region을 $x, y$축으로 잘게 쪼갠다. 이렇게 잘게 쪼갠 piece들은 어떻게든 numbering하여 모은 집합을 partition $P$이라고 하고, 이 piece들의 가로, 세..

Introduction 다변수함수의 극값을 찾기 위한 방법 중 하나로 second derivative test가 있었다. 그런데 만약 함수의 domain이 명시적으로 주어진 것이 아닌, 예컨대 어떤 방정식 $g(x, y, z) = 0$으로 표현되는 "구속조건(constraint)"으로 주어진다면 test를 적용하기가 쉽지 않다. 물론 어찌어찌 parametrize하여 명시적으로 구할 수도 있겠지만, 대게 쉽지 않다. 때문에 구속조건 자체를 활용하여 극값을 구하는 방법이 필요한데 그 결과가 바로 Lagrange multiplier, 라그랑주 승수법이다. 2차원으로 한정지어서 생각해보자. 다음 그림과 같이 구속조건 $g(x, y) = c$ ($h(x, y) = g(x, y) - c$ $= 0$으로도 정의할 ..