62) 조화진동자 마지막으로 조화진동자(Harmonic oscillator)의 경우를 살펴보. 조화진동자란 평형점으로부터 변위 $x$를 일으킨 입자에 복원력 $F = -kx$가 작용하여 각진동수 $w = \sqrt{\frac{k}{m}}$로 평형점을 중심으로 진동하는 입자를 의미한다. 이 입자의 퍼텐셜은 $V = \frac{1}{2}kx^2$으로 주어지고, 따라서 슈뢰딩거 방정식은 $$\frac{d^2 \psi}{dx^2} + \frac{2m}{\hbar^2}(E - \frac{1}{2}kx^2)\psi = 0$$이다. 이 방정식을 푸는 방법은 복잡하므로 이 포스트에서는 결과만 소개하고자 한다. 이 방정식을 풀어서 파동함수 $\psi(x)$가 행실이 좋은 파동함수가 되기 위해서 조화진동자의 에너지는 $E..

60) 유한 퍼텐셜 우물 앞서 무한 퍼텐셜 우물의 경우를 살펴보았다. 그러나 실제로 입자가 계를 탈출하기 위해 무한한 퍼텐셜 에너지가 필요한 경우는 없으므로, 유한한 퍼텐셜 에너지의 경우를 살펴보는 것이 보다 더 현실적일 것이다. Figure 1과 같이 $x \leq -a \wedge x \geq a$에 해당하는 영역 I, III에서 퍼텐셜은 $V_0$의 값을 가진다. 즉 $V_0$보다 작은 에너지를 가지고 있는 입자는 상자를 벗어날 수 없다. 편의상 이 포스트에서 입자는 항상 $V_0$보다 작은 운동에너지 $E$를 가지고 있다고 가정한다. 무한 퍼텐셜 우물에서는 상자 밖 영역, 즉 I과 III에서 입자를 발견할 확률은 0이었다. 그렇다면 유한 퍼텐셜 우물에서도 그러한지 확인해 보자. 우선 영역 I, I..

이번 포스트부터는 본격적으로 다양한 상태에 놓인 입자에 대해 슈뢰딩거 방정식을 풀어볼 것이다. 다만 수학적으로 엄밀하지는 못하며, 기본적인 컨셉을 소개하는데 그치는 점을 양해 바란다. 58) 자유입자 자유입자(Free particle)란 주변과 아무런 상호작용을 하지 않는 입자를 말한다. 빈 우주 공간에 홀로 있는 입자를 상상하면 적당할 것이다. 즉 주변으로부터 힘을 받지 않기 때문에 퍼텐셜이 존재하지 않는다. 이때 시간 무관 슈뢰딩거 방정식은 $$-\frac{\hbar^2}{2m} \frac{d^2 \psi(x)}{dx^2} = E\psi(x)$$으로 기술된다. 이때 $$-\frac{\hbar^2}{2m} \frac{d^2 \psi(x)}{dx^2} = E\psi(x) \Longrightarrow \f..

57) 슈뢰딩거의 고양이 아인슈타인이 코펜하겐 해석에 대하여 반론을 펼쳤던 것처럼, 슈뢰딩거 또한 자신이 만들어낸 파동함수가 확률론적으로 해석되는 것을 달가워 하지 않았다. 이에 슈뢰딩거는 1935년 이러한 코펜하겐 해석에 반발하여 '슈뢰딩거 고양이'(Schrodinger's cat)라는 사고실험을 제안했다. 실험의 내용은 다음과 같다. 상자 안에는 시간 당 50%의 확률로 붕괴하는 라듐핵과 핵이 붕괴하여 방출하는 $\alpha$입자를 검출하는 가이어 계수기, 그리고 망치와 독약을 넣은 유리병, 고양이가 있다. 만일 가이어 계수기가 $\alpha$입자를 검출하면 망치가 유리병을 깨서 고양이가 죽게 된다. 이때 1시간이 지난 뒤 고양이는 살았을까, 죽었을까? 고전적인 물리, 즉 비양자론적인 입장의 물리학자..

55) 양자역학의 물리적 해석 1926년 보른의 확률론적 해석과 1927년 하이젠베르크의 불확정성 원리에 이어서, 1928년 보어는 '상보성 원리'(Complementary principle)를 발표한다. 상보성 원리란 서로 대립되는 개념은 상호보완적이라는 내용이다. 파동과 입자는 상반되는 성질을 보이지만, 특정 물리 현상을 설명할 때는 어느 하나의 성질만 나타나면서 설명이 된다. 즉 입자성과 파동성은 서로를 도와서 완전한 물리세계를 이룬다는 것이다. 보어에 의하면 위치와 운동량, 에너지와 시간은 상호보완적인 관계에 있다. 불확정성 원리에 의해 서로가 상보적인 위치에 있어서 하나를 알려고 하면 다른 하나의 정보가 불분명해진다는 것이다. 이렇듯 1920년대에는 양자역학에 등장한 여러 수학적 지식들을 물리적..

53) 관측 가능량과 연산자, 기댓값 계속해서 설명하였듯이, 파동함수의 제곱은 특정 위치에서 입자를 발견할 확률밀도이므로 우리는 입자의 정확한 위치는 알 수 없으며, 단지 여러 번 측정함으로써 얻어진 평균값만 얻을 수 있을 뿐이다. 이 평균값을 '기댓값'(Expectation value)이라고 부르며, 위치, 운동량, 에너지와 같이 말 그대로 측정 혹은 관측 가능한 물리량들을 '관측 가능량'(Observable value)이라고 부른다. 관측 가능량의 기댓값을 구하는 과정에서 수학적으로 '연산자'(Operator)라는 함수가 도입된다. 예를 들어 위치의 기댓값 $$는 다음과 같이 계산된다. $$ = \frac{\int_{-\infty}^{\infty} x|\Psi(x, t)|^2 dx}{\int_{-\i..

52) 파동함수의 선형성 질문 5.2. 시간 의존 슈뢰딩거 방정식은 선형 2계 미분방정식이다. 함수의 선형성으로 인해, 슈뢰딩거 방정식에서 구한 해들의 선형 결합 역시 해가 됨을 보여라. 풀이. 시간 의존 슈뢰딩거 방정식은 다음과 같다. $$i\hbar \frac{\partial \psi}{\partial t} = - \frac{\hbar^2}{2m} \frac{\partial^2 \psi}{\partial x^2} + V\psi \cdots (\ast)$$ $\psi_1, \psi_2$가 각각 $(\ast)$의 해가 된다고 하자. 즉 다음이 성립한다. $$1) i\hbar \frac{\partial \psi_1}{\partial t} = - \frac{\hbar^2}{2m} \frac{\partial^..

50) 파동함수의 물리적 의미 슈뢰딩거의 파동방정식과 그 해인 파동함수의 존재가 알려지자, 이에 대한 해석은 물리학자들 사이에서도 분분했다. 나열하면 다음과 같다. 1. 슈뢰딩거: 우선 슈뢰딩거 그 자신의 경우, 하나의 입자에 대응하는 물질파를 나타내는 파동함수의 제곱 $|\Psi(x, t)|^2$은 공간 상에 퍼져 있음을 확인했다. 따라서 보어-조머펠트 원자 모형처럼 전자의 궤도를 도입할 필요도 없으므로 양자도약의 문제도 해결된다. 그는 더이상 입자는 존재하지 않고, 원자 내의 전자는 파다발로 존재하기 때문에 방정식에 전하를 나타내는 부분이 있어야 한다고 생각하여 $|\Psi(x, t)|^2$은 전자의 '전하 밀도'를 의미한다고 해석했다. 그러나 전자와 같은 입자를 아예 파동으로만 해석해버리면 광전 효..

49) 슈뢰딩거 방정식의 탄생 에르빈 슈뢰딩거(Erwin Schrodinger)는 드브로이의 물질파 가설에 매료된 사람 중 한 명이었다. 그는 전자가 핵 주위에서 정상파로 존재한다는 이야기를 듣고, 정상파는 평면적인 것이 아닌 3차원적으로 존재해야 한다고 주장하기도 하였다. 그러면서 그는 파동성이 물질의 실체적 속성이고, 입자성은 단지 부수적 현상에 불과하다고 생각하였다. 모든 물리 현상들은 근본적으로 파동 현상이고, 따라서 물리학은 파동 현상들을 기술해야 한다는 것이다. 그는 이러한 자신의 생각을 바탕으로 유럽 곳곳에서 강연을 하였다. 1925년 말 슈뢰딩거는 '물질의 파동성에 대한 자연적 특징'이라는 제목의 강연을 하였는데, 이때 조머펠트의 제자인 디바이(P. Debye)와의 대화에서 물질파의 시공간..

47) 물질파의 거동     앞서 보어의 원자 모형은 전자가 핵 주위에서 특정 궤도만을 돌 수 있고, 각운동량이 양자화되어 있어서 전자는 정상 궤도를 유지한다는 가정을 해야만 했다. 때문에 왜 하필 전자가 이러한 거동을 보이는지에 대해서는 일절 설명할 수 없었고, 이는 양자도약과 더불어 당시의 원자모형의 문제점이었다. 그러나 1924년, 드브로이는 물질파 이론으로부터 보어의 원자 모형의 문제를 해결하게 된다.     드브로이의 생각은 이러하다. 자신의 물질파 이론에 의하면 전자 또한 파동의 성질을 가지는 물질파이고, 전자가 양자화된 각운동량을 가지고 특정 궤도를 유지하면서 운동한다는 것이 사실이라면, 전자가 '정상파'이어야 한다. 정상파는 단지 위아래로만 움직이고, 앞뒤로 진행하지 않는다. 즉 에너지나 ..