The Linear Diophantine Equation Definition 1. Let $a, b, c \in \mathbb{Z}$ with $a \neq 0, b \neq 0$. The equation $$ax + by = c$$ that is to be solved in the integers is called the linear diophatine equation in two unknowns. 교과과정에서는 일차 부정방정식으로 소개되는 선형 디오판토스 방정식이다. 보통 정수를 계수로 가지는 다항식의 정수해를 찾는 것을 의미한다. 해를 가지는 조건과 해의 구체적인 형태가 깔끔하게 알려져 있다. Theorem 1 Theorem 1. The linear diophantine equation $ax + ..

이 포스트에서 $V$는 $n$차원 $F$-벡터공간으로 취급한다. Theorem 1 Theorem 1. (a) Let $T \in \mathcal{L}(V)$. Then a scalar $\lambda$ is an eigenvector of $T$ $\Longleftrightarrow$ $\det(T - \lambda I_V) = 0$. (b) Let $A \in M_{n \times n}(F)$. Then a scalar $\lambda$ is an eigenvector of $A$ $\Longleftrightarrow$ $\det(A - \lambda I_n) = 0$. Proof. (a) Since $\lambda$ is an eigenvector of $T$, there is an nonzero v..

Diagonalizable Definition 1. Let $T \in \mathcal{L}(V)$ [$A \in M_{n \times n}(F)$] where $V$ be a finite-dimensional vector space. $T$ [$A$] is called diagonalizable if there is an ordered basis $\beta$ for $V$ [$F^n$] such that $[T]_{\beta}$ [$[L_A]_{\beta}$] is a diagonal matrix. Eigenvector, Eigenvalue Definition 2. Let $T \in \mathcal{L}(V)$ [$A \in M_{n \times n}(F)$] where $V$ be a finite..

Cramer's Rule Theorem 1. (Cramer's Rule) Let $Ax = b$ be a system of $n$ linear equations in $n$ unknowns, where $x = (x_1, ..., x_n)^t$. If $\det(A) \neq 0$, then this system has a unique solution, and $$x_k = \frac{\det(M_k)}{\det(A)}, \forall k \in \{1, ..., n\},$$ where $M_k \in M_{n \times n}(F)$ obtained from $A$ by replacing column $k$ of $A$ by $b$. Proof. Let $y \in F^n$, and let denote..

What Happens to $\det(A)$ if we perform an elementary row operation on $A$ Theorem 1. Let $A \in M_{n \times n}(F)$ and $B = R(A)$, where $R$ is an elementary row operation. Then the followings hold: (a) If $R = R_{i \leftrightarrow j}$, then $\det(B) = -\det(A)$. (b) If $R = R_{ci}$, then $\det(B) = c \cdot \det(A)$. (c) If $R = R_{i + cj}$, then $\det(B) = \det(A)$.

이 포스트에서 $V$는 유한차원 $F$-벡터공간으로 취급한다. Determinant of a Linear Operator Definition 1. Let $T \in \mathcal{L}(V)$. We define the determinant of $T$, denoted $\det(T)$, to be $\det(T) = \det([T]_{\beta})$, where $\beta$ is an ordered basis for $V$. 선형 연산자 $T$의 행렬 표현의 행렬식으로 $T$의 행렬식을 정의할 수 있다. 이러한 정의는 $V$의 기저의 선택에 의존하지 않는다. Let $\beta, \gamma$ be ordered bases for $V$. By Theorem 2, we have $[T]_{\gamm..

Determinant Definition 1. The determinant of $A \in M_{n \times n}(F)$ is a scalar $$\text{det}(A) = \sum_{j=1}^n (-1)^{i+j}A_{ij}\text{det}(\widetilde{A_{ij}})$$ for some row $i$, where $\widetilde{A_{ij}}$ is the $(n-1) \times (n-1)$ matrix obtained from $A$ by deleting row $i$ and column $j$. If $n = 1$, then $\det(A) := A_{11}.$ Determinant, 즉 행렬식은 치환으로 정의되나 여기서는 흔히 라플라스 전개라고 알려진 방법으로 정의하여 잘..

Least Common Multiple Definition 1. Let $a, b \in \mathbb{Z}$, with $a \neq 0, b \neq 0$. The least common multiple of $a$ and $b$, denoted by lcm($a, b$), is $m \in \mathbb{N}$ satisfying the following: (a) $a \,|\, m \wedge b \,|\, m$. (b) $a \,|\, c \wedge b \,|\, c (c > 0) \Longrightarrow m \leq c$. 최대공약수와 마찬가지의 방법으로 lcm, 즉 최소공배수를 정의할 수 있다. 공배수이면서 ((a)) 공배수 중 가장 작은 수를 ((b)) 최소공배수라고 한다. Theor..

주어진 두 수의 최대공약수는 보통 소인수분해를 하여 구한다. 그러나 숫자가 커져가면 소인수분해가 힘들어지고, 최대공약수를 구하는 것 또한 만만찮은 작업이 된다. 이때 직접 소인수분해를 하지 않고도 최대공약수를 제시해주는 방법이 Euclidean Algorithm, 즉 유클리드 호제법이다. 기본적으로 알고리즘이므로 일련의 과정을 제시하고, 이 과정을 따라가면 반드시 최대공약수를 구할 수 있다. Euclidean Algorithm 주어진 두 정수 $a, b$에 대해 gcd($|a|, |b|$) = gcd($a, b$)이므로 편의상 $a \geq b > 0$이라 가정해도 문제가 되지 않는다. Division Algorithm에 의해 $$a = q_1b + r_1 (0 \leq r_1 < b)$$를 만족하는 $..

Euclid's Lemma Theorem 1. (Euclid's Lemma) Let $a, b \in \mathbb{Z}$, not both zero. If $a \,|\, bc$ for $c \in \mathbb{Z}$, with gcd($a, b$) = 1, then $a \,|\, c$. Proof. By Theorem 3, $1 = ax + by$ for some $x, y \in \mathbb{Z}$. Let $bc = ka$ for some $k \in \mathbb{Z}$. Then $c = c \cdot 1 = c(ax + by) = acx + bcy = acx + kay = a(cx + ky) \Longrightarrow a \,|\, c$. $\blacksquare$ $a$와 $b$는 ..