The Cayley-Hamilton Theorem Theorem 1. (The Cayley-Hamilton Theorem) Let $T \in \mathcal{L}(V)$, and let $f(t)$ be the characteristic polynomial of $T$. (V is finite-dimensional) Then $f(T) = T_0$, the zero transformation. Proof. We need to show that $f(T)(v) = \mathbf{0}, \forall v \in V$. If $v = \mathbf{0}$, it is clear. Suppose that $v \neq \mathbf{0}$. Let $W$ be the $T$-cyclic subspace of ..

The Cyclic Subspace Definition 1. Let $T \in \mathcal{L}(V)$, and let a nonzero vector $x \in V$. The subspace $W = $ is called the $T$-cyclic subspace of $V$ generated by $x$. Theorem 1 Theorem 1. Let $T \in \mathcal{L}(V)$, and let $W$ be the $T$-cyclic subspace of $V$ generated by $\mathbf{0} \neq x \in V$. Then (a) $W$ is $T$-invariant. (b) Any $T$-invariant subspace of $V$ containing $x$ al..

The Invariant Subspace Definition 1. Let $T \in \mathcal{L}(V)$. Then $W \leq V$ is called a $T$-invariant subspace of $V$ if $T(W) \subseteq W$. $W$의 image가 다시 $W$에 포함될 때 $W$를 $T$-불변 부분공간이라고 부른다. 자명하게 $\{\mathbf{0}\}, V, R(T), N(T), E_{\lambda}$는 $T$-불변 부분공간임을 알 수 있다. The restriction of a Linear Operator Definition 2. Let $T \in \mathcal{L}(V)$, and let $W$ be a $T$-invariant subspace of $V$. T..

어떤 선형 연산자 $T$가 주어졌을 때 대각화가능한지 결정하고, 가능하다면 대각화하도록 고유벡터들로 이루어진 기저 $\beta$를 찾는 것이 우리의 목표이다. $T$의 고유값은 특성 다항식 $f(t) = \det (T - tI)$를 풀어서 구할 수 있다. 만약 이를 통해 서로 다른 고유값 $\lambda_1, ..., \lambda_k$를 구했을 때, 이 고유값들에 대응되는 고유벡터들은 $v \in E_{\lambda}$을 이용해서 구할 수 있다. 이제 이 고유벡터들로 기저를 구성해야 하고, 그 방법을 아래의 정리들이 제시해준다. Theorem 1 Theorem 1. Let $T \in \mathcal{L}(V)$, and let $\lambda_1, ..., \lambda_k$ be distinct e..

The Multiplicity Defintion 1. Let $T \in \mathcal{L}(V)$, and let $\lambda$ be an eigenvalue of $T$ with characteristic polynomial $f(t)$. Then (a) The algebric multiplicity of $\lambda$ is the largest positive integer $k$ for which $(t - \lambda)^k$ is a factor of $f(t)$. (b) The geometric multiplicity of $\lambda$ is $\dim(E_{\lambda})$ where $E_{\lambda}$ is the eigenspace of T corresponding ..

The Eigenspace Definition 1. Let $T \in \mathcal{L}(V)$, and let $\lambda$ be an eigenvalue of $T$. The eigenspace of $T$ corresponding to $\lambda$ is the set $E_{\lambda} = N(T - \lambda I_V) = \{x \in V \,|\, T(x) = \lambda x\}$. Analogously, we define the eigenspace of a square matrix $A$ to be the eigenspace of $L_A$. 즉 주어진 고유벡터 $\lambda$에 대응하는 고유공간 $E_{\lambda}$는 $\lambda$에 대응하는 고유벡터들과 영벡터..

The Prime Number Definition 1. An integer $p > 1$ is called a prime number (or prime) if its only positive divisors are 1 and $p$. An integer greater than 1 that is not a prime is called a composite. 양의 약수로 1과 자기 자신 밖에 가지지 않는 수를 소수라고 하고, 그렇지 않은 수를 합성수라 한다. 나눗셈이라는 연산의 관점에서 볼 때 더이상 쪼개지지 않는, 마치 원자와 동일한 역할을 수행하는 대상이다. 소인수분해라는 개념이 괜히 있는 것이 아니다. 정수들을 이루는 벽돌과도 같은 기본 단위가 소수이기 때문에 소수를 기준으로 정수를 분해하는 것이다. ..

The Linear Diophantine Equation Definition 1. Let $a, b, c \in \mathbb{Z}$ with $a \neq 0, b \neq 0$. The equation $$ax + by = c$$ that is to be solved in the integers is called the linear diophatine equation in two unknowns. 교과과정에서는 일차 부정방정식으로 소개되는 선형 디오판토스 방정식이다. 보통 정수를 계수로 가지는 다항식의 정수해를 찾는 것을 의미한다. 해를 가지는 조건과 해의 구체적인 형태가 깔끔하게 알려져 있다. Theorem 1 Theorem 1. The linear diophantine equation $ax + ..

이 포스트에서 $V$는 $n$차원 $F$-벡터공간으로 취급한다. Theorem 1 Theorem 1. (a) Let $T \in \mathcal{L}(V)$. Then a scalar $\lambda$ is an eigenvector of $T$ $\Longleftrightarrow$ $\det(T - \lambda I_V) = 0$. (b) Let $A \in M_{n \times n}(F)$. Then a scalar $\lambda$ is an eigenvector of $A$ $\Longleftrightarrow$ $\det(A - \lambda I_n) = 0$. Proof. (a) Since $\lambda$ is an eigenvector of $T$, there is an nonzero v..

Diagonalizable Definition 1. Let $T \in \mathcal{L}(V)$ [$A \in M_{n \times n}(F)$] where $V$ be a finite-dimensional vector space. $T$ [$A$] is called diagonalizable if there is an ordered basis $\beta$ for $V$ [$F^n$] such that $[T]_{\beta}$ [$[L_A]_{\beta}$] is a diagonal matrix. Eigenvector, Eigenvalue Definition 2. Let $T \in \mathcal{L}(V)$ [$A \in M_{n \times n}(F)$] where $V$ be a finite..