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SumDefinition 1. Let $W_1, ..., W_k \leq V$. We define the sum of these subspaces to be the set $\{v_1 + \cdots + v_k \,|\, v_i \in W_i \text{ for } 1 \leq i \leq k\}$, which we denote by $$\sum_{i=1}^k W_i.$$ Direct SumDefinition 2. Let $W_1, ..., W_k \leq V$. We call $V$ the direct sum of $W_1, ..., W_k$ and write $$V = \bigoplus_{i=1}^k W_i,$$ if $V = \sum_{i=1}^k W_i$ and $W_j \cap \sum_{i \n..

Orthogonal ComplementDefinition 1. Let $(V, \langle \cdot, \cdot \rangle)$ be an inner product space, and let $\emptyset \neq S \subseteq V$. We define $S^{\perp}$ to be $S^{\perp} = \{x \in V \,|\, \langle x, y\rangle = 0, \forall y \in S\}$. The set $S^{\perp}$ is called the orthogonal complement of $S$.$S$의 벡터들에 직교하는 벡터들을 모두 모아놓은 집합을 $S$의 orthogonal complement, 직교여공간이라고 부른다. 자명하게 $S^{\perp} \..

OrthogonalDefinition 1. Let $(V, \langle \cdot, \cdot \rangle)$ be an inner product space. Let $x, y \in V$, and let $S \subseteq V$. Then(a) $x$ and $y$ are orthogonal (or perpendicular) if $\langle x, y\rangle = 0$.(b) $S$ is orthogonal if any two distinct vector in $S$ are orthogonal.고등학교 시절 내적을 배웠다면, 내적의 정의를 $x \cdot y = |x| |y| \cos \theta$로 기억하고 있을 것이다. 이 경우 $\theta = 90^{\circ}$일 때 두 벡터가 ..

NormDefinition 1. Let $V$ be a vector space over $F = \mathbb{R}$ or $\mathbb{C}$. A norm is a function $|| \cdot ||: V \longrightarrow \mathbb{R}$ such that $\forall x, y \in V, \forall a \in F$, the following hold:(a) $||x|| \geq 0$, and $||x|| = 0 \iff x = \mathbf{0}$.(b) $||ax|| = |a|\,||x||$.(c) $||x+y|| \leq ||x|| + ||y||$.Then $(V, ||\cdot||)$ is called a normed space. 복소수의 크기를 절댓값을 씌워서 알..

Adjoint of Matrix Definition 1. Let $A \in M_{m \times n}(F)$. We define the adjoint or conjugate transpose of $A$ to be the $n \times m$ matrix $A^*$ such that $(A^*)_{ij} = \overline{A_{ji}}$ for all $i, j$. Theorem 1 Theorem 1. Let $A, B \in M_{m \times n}(F)$, and let $C \in M_{n \times p}$. Then (a) $(A+B)^* = A^* + B^*$ (b) $(cA)^* = \overline{c} A^*, \forall c \in F$. (c) $(AC)^* = C^*A^*..

이 포스트에서 $V$는 $F$-벡터공간으로 취급한다.Inner ProductDefinition 1. An inner product on $V$ is a function $\langle \cdot, \cdot \rangle: V \times V \longrightarrow F$, such that $\forall x, y, z \in V$ and $\forall c \in F$, the following hold:(a) $\langle x + z, y \rangle = \langle x, y \rangle + \langle z, y \rangle$.(b) $\langle cx, y \rangle = c \langle x, y \rangle$.(c) $\overline{ \langle x, y \rangle..

The Cayley-Hamilton Theorem Theorem 1. (The Cayley-Hamilton Theorem) Let $T \in \mathcal{L}(V)$, and let $f(t)$ be the characteristic polynomial of $T$. (V is finite-dimensional) Then $f(T) = T_0$, the zero transformation. Proof. We need to show that $f(T)(v) = \mathbf{0}, \forall v \in V$. If $v = \mathbf{0}$, it is clear. Suppose that $v \neq \mathbf{0}$. Let $W$ be the $T$-cyclic subspace of ..

The Cyclic SubspaceDefinition 1. Let $T \in \mathcal{L}(V)$, and let a nonzero vector $x \in V$. The subspace $W = \langle x, T(x), T^2(x), ... \rangle$ is called the $T$-cyclic subspace of $V$ generated by $x$.Theorem 1Theorem 1. Let $T \in \mathcal{L}(V)$, and let $W$ be the $T$-cyclic subspace of $V$ generated by $\mathbf{0} \neq x \in V$. Then(a) $W$ is $T$-invariant.(b) Any $T$-invariant su..

The Invariant SubspaceDefinition 1. Let $T \in \mathcal{L}(V)$. Then $W \leq V$ is called a $T$-invariant subspace of $V$ if $T(W) \subseteq W$.    $W$의 image가 다시 $W$에 포함될 때 $W$를 $T$-불변 부분공간이라고 부른다. 자명하게 $\{\mathbf{0}\}, V, R(T), N(T), E_{\lambda}$는 $T$-불변 부분공간임을 알 수 있다.The restriction of a Linear OperatorDefinition 2. Let $T \in \mathcal{L}(V)$, and let $W$ be a $T$-invariant subspace of $V$. T..

어떤 선형 연산자 $T$가 주어졌을 때 대각화가능한지 결정하고, 가능하다면 대각화하도록 고유벡터들로 이루어진 기저 $\beta$를 찾는 것이 우리의 목표이다. $T$의 고유값은 특성 다항식 $f(t) = \det (T - tI)$를 풀어서 구할 수 있다. 만약 이를 통해 서로 다른 고유값 $\lambda_1, ..., \lambda_k$를 구했을 때, 이 고유값들에 대응되는 고유벡터들은 $v \in E_{\lambda}$을 이용해서 구할 수 있다. 이제 이 고유벡터들로 기저를 구성해야 하고, 그 방법을 아래의 정리들이 제시해준다. Theorem 1Theorem 1. Let $T \in \mathcal{L}(V)$, and let $\lambda_1, ..., \lambda_k$ be distinct ei..