23) 일반상대성이론의 배경 1905년에 발표된 특수상대성이론이 관성 좌표계, 즉 등속도로 움직이는 좌표계에서 일어나는 현상들에 대해 다룬 이론이라면, 1915년 발표된 일반상대성이론은 비관성 좌표계, 즉 등속도가 아닌 가속 좌표계에서 일어나는 현상들에 대해 다룬 이론이다. 0장에서 설명했듯이, 일반 상대성 이론은 '중력이란 무엇인가?'라는 질문에 답하는 이론으로, 주로 중력과 중력효과에 대해서 다룬다. 앞전 포스트에서 설명한 것처럼 민코프스키는 민코프스키 시공간이라는 특수 상대성 이론의 기하학적 배경을 만들었다. 이후 1912년 자신의 모교인 취리히 공과대학의 교수가 된 아인슈타인에게 자신의 친구이자 동 대학 수학 교수인 그로스만(Marcel Grossmann)은 특수 상대성 이론을 비관성 좌표계로 확..
21) 특수상대성이론의 반향 특수 상대성 이론이 발표된 직후 과학계의 반응은 다양했다. 아인슈타인이라는 20대 청년이, 그것도 박사도 아닌, 지금까지 절대적으로 여겨졌던 뉴턴의 이론을 깨부수고 새로운 시공간의 개념을 제안하였으니 납득하기 힘들만 하다고 생각이 된다. 당연히 대부분의 과학자들은 '형편없는 사기꾼'이나 '이해할 수 없는 이론을 적당히 포장한 사람'이라고 비난하는 등 보수적이고 회의적인 태도를 견지했다. 에테르에 집착한 로렌츠나 푸엥카레 역시 아인슈타인의 논문을 이해하지 못했다고 전해진다. 그러나 개중에는 '인류 철학사와 과학사에서 가장 뛰어난 성취'라고 하며 상대론을 지지하는 이들도 있었다. 1900년, 양자이론을 처음 주장한 막스 플랑크(Max Planck)는 아인슈타인의 주장에 매료되어 ..
20) 상대론적 운동량과 에너지의 관계 고전역학에서 운동 에너지와 운동량은 다음과 같은 관계를 갖는다. $$K = \frac{p^2}{2m}$$ 이번엔 지난 포스트에서 살펴본 질량 - 에너지 등가성과 상대론적 운동량을 가지고 상대론적 에너지와 운동량 간의 관계를 살펴보자. 특수 상대성 이론에서 총 에너지와 운동량은 다음과 같이 주어지는 것을 상기하라. $$E = \gamma m_0 c^2 \\ p = \gamma m_0 v$$ 이 두 식을 제곱한 뒤 $E^2$에서 $p^2 c^2$을 빼면 다음과 같은 관계식을 얻는다. $$E^2 - p^2 c^2 = \gamma ^2 m^2_0 c^4 - \gamma ^2 m^2_0 v^2 c^2 = \gamma ^2 m^2_0 c^4 (1 - \frac{v^2}{c^2..
18) 상대론적 힘 앞서 살펴보았던 상대론적 운동량을 가지고 상대론적 힘을 유도해보자. 뉴턴의 운동 법칙 $$F = \frac{dp}{dt}$$ 로부터 $$F = \frac{dp}{dt} = \frac{d}{dt}(\gamma m_0 v) = m_0 v \frac{d\gamma}{dt} + \gamma m_0 \frac{dv}{dt} \\ = m_0 v [-\frac{1}{2}(1 - \frac{v^2}{c^2})^{-\frac{3}{2}} \cdot (-\frac{2v}{c^2})\frac{dv}{dt}] + \gamma m_0 a \\ = \gamma m_0 a (\frac{1}{1 - \frac{v^2}{c^2}}) = \gamma ^3 m_0 a = \gamma F_0 \\ \Longrightar..
17) 상대론적 질량과 운동량 이전까지의 고전역학에 의하면, 물체에 에너지를 가하면 속도가 증가하여 운동량 혹은 운동 에너지가 증가하게 된다. 그러나 앞선 논의를 통해 물체의 속도의 크기는 결코 광속을 넘을 수 없으므로, 어떤 형태로든 질량이 증가할 수 밖에 없다는 생각을 할 수 있다. 이것을 상대론적으로 유도한 결과가 상대론적 질량, $$m = \gamma m_0$$ 이다. 이때 $m_0$는 관성질량으로, 상대론에서는 정지질량(Rest Mass)이 된다. 물체의 속도의 크기가 광속에 비해 매우 작은 경우, 고전적 질량으로 환원된다. 위 식의 양변에 물체의 속도 $v$를 곱하면, 상대론적 운동량이 얻어진다. $$p = mv = \gamma m_0 v$$ 수평 방향으로 두 물체 사이의 충돌을 통해 이를 유..
15) 쌍둥이 역설 상대성이론과 함께 많은 사람들에게 알려지게 된 쌍둥이 역설(Twin Paradox)을 살펴보자. 쌍둥이 역설은 1911년 솔베이 회의에서 랑저뱅(Paul Langevin)에 의해서 처음 거론된 역설로, 초기에는 많은 논쟁거리를 낳았으나 이후 많은 방법들로 논파된 역설이다. 위의 그림에서 $A$와 $B$는 쌍둥이로, $A$는 광속에 가까운 크기의 속도 $V$로 움직이는 우주선을 타고 지구에서 별까지 왕복 여행을 다녀온다고 하자. $B$는 지구에 남아있고, $B$를 기준으로 지구와 별 사이의 고유길이는 $L_0$이다. $B$ 기준으로 $A$는 광속에 가까운 크기의 속도로 움직이므로 시간 팽창에 의해 $A$가 타고 있는 우주선의 시계는 자신의 고유시간 $\Delta t_0$에 비해 $\De..
13) 광시계를 통한 시간 팽창의 유도 지난 포스트에서 로렌츠 변환으로 유도했던 시간 팽창을 Light Clock, 즉 광시계를 통한 사고실험을 도입해서 유도할 수 있다. 다음과 같이 $+x$축 방향으로 $V$의 속력으로 움직이는 우주선 안에 빛이 100% 반사율을 가지는 두 개의 거울 사이를 왕복 운동하는 장치가 있다. 거울 사이의 거리는 $L_0$로 일정하므로, 광속 불변의 원리에 의해 빛이 왕복운동하는 횟수는 시간에 비례하므로 이를 시계로 사용할 수 있다. 이때 우주선 내부 좌표계에서는 빛이 t0의 시간 간격을 가지고 위아래로만 왕복 운동하는 것으로 관측될 것이므로 $2L_0 = c \cdot t_0$ 의 관계가 성립한다. 그러나 우주선 밖 좌표계 기준으로는 우주선이 운동하고 있으므로 거울이 움직여..
동시성의 상대성에 이어서 특수상대성이론의 대표적인 결과인 '시간 팽창'(Time Dilation)과 '길이 수축'(Length Contraction)을 다뤄보자. 11. 시간 팽창 (Time Dilation) 다음 그림과 같이 $S$ 좌표계에 있는 관찰자가 $S$와 $S'$에 있는 시계가 가리키는 시간을 읽는 상황을 고려하자. 시계는 $S$를 기준으로 $x$의 위치에 있다. 이때 관찰자에 대해 정지해 있는 좌표계에서 읽는 시간을 '고유시간'(Proper Time)이라고 부른다. 위 그림에서 고유시간은 $S$에 있는 관찰자가 읽는 시간이므로 $t = t_1, t = t_2$가 고유시간이다. $S$에서 읽는 고유시간 간격 $t_0$는 $t_0 = t_2 - t_1$이다. 따라서 $S$에 있는 관찰자가 읽어내..
10. 동시성의 상대성 (Relativity of Simultaneity) 특수상대성이론을 통해 말할 수 있는 현상 중 가장 대표적인 것 중 하나인 '동시성의 상대성'을 다뤄보자. 우선, '동시'란 개념은 어떻게 정의되는가? 어떤 관측자에게 서로 다른 두 개의 사건이 동시라는 말은 사건의 신호의 속력과 사건까지의 거리를 이용해 실제 사건 발생 시간을 계산했을 때, 두 사건이 발생한 시간 좌표값의 차, 즉 "$\Delta t$"가 0이라는 것을 의미한다. Section 0에서 언급했듯이, 뉴턴에 의하면 시간과 공간은 관측자에 의존하지 않고 절대적이므로, 두 사건이 서로 다른 두 관측자에게 각각 같은 거리에 있고 신호의 속도가 동일하다면 반드시 동시에 일어나야 한다. 그러나 로렌츠 변환은 관측자의 좌표계의 ..
7. 특수상대성이론의 배경 지금까지의 역사적 배경을 정리하며 특수상대성이론을 도입해보자. 20세기 전까지 거의 모든 과학자들은 절대적으로 정지해있는 매질인 에테르의 존재를 확신했다. 때문에 마이켈슨과 몰리는 에테르 존재의 실험적 증거를 확인하기 위해 여러 차례의 실험을 반복했지만, 에테르의 존재를 확인할 수 없었다. 이 과정에서 피츠제랄드, 로렌츠, 라모, 푸앵카레와 같은 초기 상대론자들은 새로운 변환식인 로렌츠 변환을 만들었다. 그러나 끝내 이들은 로렌츠 변환식을 해석하지 못했고, 1905년 아인슈타인이 특수상대성이론에 관한 논문을 발표함으로서 비로소 그 문제가 해결되었다. 아인슈타인과 초기 상대론자들의 가장 결정적인 차이는 무엇이었을까? 여러번 언급했지만, 핵심은 에테르 존재의 믿음 여부에 있었다. ..
