Denumerable and Countable SetsDefinition 1. A set $X$ is said to be denumerable if $X \sim \mathbb{N}$. A countable set is a set which is either finite or denumerable.Countable set은 말 그대로 대상들을 하나하나 '셀 수 있는', 가산집합을 의미한다. 유한집합은 직관적으로도 당연히 셀 수 있다. 말 그대로 대상이 유한 개니까 시간은 좀 걸리더라도 언젠가 끝이 있기 때문이다. 그러나 무한집합의 경우는 어떻게 가능할까? 비록 세아려야 할 대상이 무한하지만, 각 대상이 모두 번호가 붙어 있어서 우리에게 그 번호의 규칙이 주어진다면 다른 의미에서 셀 수 있다고 말할 수 있..

EquipotentDefinition 1. Two Sets $X$ and $Y$ are said to be equipotent, symbolized as $X \sim Y$ provided that there exists a bijection $f : X \longrightarrow Y$.이때 $\sim$를 relation으로 정의할 수 있고 뿐만 아니라 동치 관계가 된다는 것을 쉽게 알 수 있다. 두 집합 사이의 bijection이 존재한다는 것은 집합의 각 원소를 일대일 대응시킬 수 있다는 말이고, 이는 두 집합의 크기가 같다는 말로도 이해할 수 있다. 이는 유한집합 뿐만 아니라 무한집합을 다룰 때에 매우 유용한 툴이라고 할 수 있다.Theorem 1Theorem 1. Let $X, Y, Z$ and..

Infinite SetsDefinition 1. A set $X$ is infinite if there is a proper subset $Y$ to be equipotent to $X$, that is, there is a bijection from $X$ to $Y$. A set is finite if it is not infinite.무한을 정의하기란 매우 어려운 일이다. 무한집합을 정의한 위 서술에서 '무한'이라는 말이 직접적으로 들어가 있지 않음에 주목하자. 이 정의는 언뜻 보면 쌩뚱맞지만, 우리가 직관적으로 생각하는 '무한' 집합에서만 볼 수 있는 특이한 성질이다. 예컨대 자연수 집합 $\mathbb{N}$을 생각하자. 이때 함수 $\sigma : \mathbb{N} \longrightarro..

Composition of FunctionsDefinition 1. Let $f : X \longrightarrow Y$ and $g : Y \longrightarrow Z$ be functions. The composition of $f$ and $g$ is the function $g \circ f : X \longrightarrow Z$ where $(g \circ f)(x) = f(g(x)), \forall x \in X$. In other words, $$g \circ f = \{(x, z) \in X \times Z \, | \, \exists y \in Y \text{ such that } (x, y) \in f \wedge (y, z) \in g\}. $$

InjectiveDefinition 1. A function $f : X \longrightarrow Y$ is said to be injective or one-to-one if $x_1, x_2 \in X$ with $f(x_1) = f(x_2)$, then $x_1 = x_2$. SurjectiveDefinition 2. A function $f : X \longrightarrow Y$ is said to be surjective or onto if $y \in Y$, then there exists $x \in X$ such that $f(x) = y$. In other words, $f : X \longrightarrow Y$ is surjective $\iff f(X) = Y$.Bijectiv..

FunctionDefinition 1. Let $X, Y$ be sets. A function from $X$ to $Y$ is a relation $f$ from $X$ to $Y$ satisfying (a) Dom($f$) = $X$,(b) If $(x, y) \in f$ and $(x, z) \in f$, then $y = z$.$(x, y) \in f$는 관습상 $xfy$가 아닌 $y = f(x)$라고 쓴다. 또한 $X$에서 $Y$로의 관계인 함수 $f$는 $f : X \longrightarrow Y$와 같이 표기한다. The Condition For Functions To Be EqualTheorem 1. Let $f, g : X \longrightarrow Y$ be functions. The..

PartitionDefinition 1. Let $X$ be a nonempty set. A partition $\mathcal{P}$ of $X$ is a set of nonempty subsets $X$ such that (a) If $A, B \in \mathcal{P}$ and $A \neq B$, then $A \cap B = \emptyset$(b) $\cup_{C \in \mathcal{P}} C = X$.직관적으로 말하면, partiton은 집합 $X$를 겹치는 부분 없이 잘라놓은 집합이라고 할 수 있다. Equivalence Class, Quotient SetDefinition 2. Let $R$ be an equivalence relation on a nonempty set $X$. F..

UnionDefinition 1. Let $\mathcal{F}$ be a family of sets. The union of the sets in $\mathcal{F}$, denoted by $\cup_{A \in \mathcal{F}} A$ is the set of all elements that are in $A$ for some $A \in \mathcal{F}$. That is, $$\bigcup_{A \in \mathcal{F}} A = \{ x \in U \, | \, \exists A \in \mathcal {F}, x \in A \}.$$IntersectionDefinition 2. Let $\mathcal{F}$ be a family of sets. The intersection of..

Divergence TheoremTheorem 1. Let $\mathbf{F}$ be a vector field whose components have continuous first partial derivatives, and let $S$ be a piecewise smooth oriented closed surface. The flux of $\mathbf{F}$ across $S$ in the direction of the surface’s outward unit normal field $\mathbf{n}$ equals the triple integral of the divergence $\nabla \cdot \mathbf{F}$ over the region $D$ enclosed by the..

[본 독서인증은 스노우폭스북스의 지원을 받아 작성되었습니다.] 저자는 인간의 여러 가지 욕구 중 가장 근본적인 욕구를 식욕이라고 보는 듯하다. 그렇기에 식욕을 조절할 수 없다면 나머지 욕구들도 조절할 수 없을 것이고, 이는 성공과 행복에 직결되어 있다고 말한다.  현대의 문체에 맞게 번역해 보자. 우리는 모두 각자의 '양'이 있어서 어느 정도 먹으면 배가 차는 대략적인 기준을 알고 있다. 저자는 이를 각자 하늘에서 정해진 할달량이 있다고 표현한다. 결국 이는 자기 스스로를 잘 알고 거기에 맞춰서 삶의 습관을 잡아야 한다는 뜻이라고 이해할 수 있다.  스스로를 정확하게 파악하여서 그에 맞춰서 식습관과 같은 삶의 루틴을 정하고 절제하는 것이야말로, 이러한 지극히 개인적인 영역을 통제하는 것이야말로 더 큰 영..