Elementary Operation Definition 1. Let $A \in M_{m \times n}(F).$ The following operations on the rows (columns) of $A$ is called an elementary row (column) operation: - Type 1: Interchanging any two rows (columns) of $A$. - Type 2: Multiplying any row (column) of $A$ by a nonzero scalar. - Type 3: Adding any scalar multiple of a row (column) of $A$ to another row (column). 임의의 행렬이 주어졌을 때, 그 행렬의..
이 포스트에서 $V, W$는 유한차원 $F$-벡터공간으로 취급한다. Linear Functional Definition 1. Let $T \in \mathcal{L}(V, F)$. Then we call $T$ a linear functional on $V$. Dual Space Definition 2. We define the dual space of $V$ to be the vector space $\mathcal{L}(V, F)$, denoted by $V^*$. The double dual (or bidual) space $V^{**}$ is the dual space of $V^*$. 선형 변환 $T: V \rightarrow F$을 linear functional, 선형 범함수라고 부르고 이들..
Similar Definition 1. Let $A, B \in M_{n \times n}(F)$. We say that $B$ is similar to $A$ if $\exists Q \in M_{n \times n}$ such that $Q$ is invertible and $B = Q^{-1}AQ$. Property Property. Let $A, B \in M_{n \times n}(F)$ be the similar matrices. Then (a) $A$ and $B$ have the same characteristic polynomial. Proof. (a) Since $A$ and $B$ are similar, $\exists$ invertible $Q \in M_{n \times n}(F)..
이 포스트에서 $V$는 유한차원 $F$-벡터공간으로 취급한다. $V$의 기저 $\beta = \{x, y\}, \beta' = \{x' ,y'\}$이 주어졌을 때 임의의 벡터 $v \in V$는 각각의 기저를 사용해 좌표 벡터 $[v]_{\beta}, [v]_{\beta'}$으로 표현 가능하다. 이때 좌표를 변환하는, 즉 두 좌표 벡터 사이의 관계식을 구할 수 있다. Introduction $[x']_{\beta} = \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}, [y']_{\beta} = \begin{pmatrix} c \\ d \end{pmatrix}$라고 가정하자. 즉 $$x' = ax + by \\ y' = cx + dy \\ \Longrightarrow \begin{pmat..
https://product.kyobobook.co.kr/detail/S000001290623 수학의 확실성 | 모리스 클라인 - 교보문고 수학의 확실성 | product.kyobobook.co.kr 수학은 어디에서 와서 어디로 가고 있는가? 또 수학은 어디로 가야 하는가? 이에 대한 설명과 나름의 주장을 훌륭하게 해내고 있는 책 중 하나가 바로 모리스 클라인의 이다. 저자는 12장까지 첫 번째 질문에 대해 답하고 있으며, 13장부터는 두 번째 질문에 대해 첫 질문의 답변을 가지고 자신의 생각을 피력한다. 따라서 이 책은 수학의 역사만을 다루는 책이 아니며, 현재 수학이 지향해야 할 방향을 제시하는 저자의 주장을 담은 책이라고 이해할 수 있다. 이러한 저자의 이야기는 기존에 가지고 있던 나의 수학에 대한..
이 포스트에서 $V, W$는 모두 $F$-벡터공간으로 취급한다. Theorem 1 (The Fundamental Theorem of Linear Algebra) Theorem 1. Let dim($V$) = $n$ and dim($W$) = $m$, and let $\beta, \gamma$ be ordered bases for $V, W$, respectively. Then the function $\Phi: \mathcal{L}(V, W) \rightarrow M_{m \times n}(F)$, defined by $\Phi(T) = [T]_{\beta}^{\gamma}$ for $\forall T \in \mathcal{L}(V, W)$, is an isomorphism. Proof. (1) $\P..
이 포스트에서 $V, W$는 모두 $F$-벡터공간으로 취급한다. Inverse of a matrix Definition 1. Let $A \in M_{n \times n}(F)$. Then $A$ is invertible if $\exists B \in M_{n \times n}(F)$ such that $AB = BA = I_n$. The matrix $B$ is called the inverse of $A$ and is denoted by $A^{-1}$. Isomorphism Definition 2. We say that $V$ and $W$ are isomorphic, denoted $V \cong W$, if $\exists T \in \mathcal{L}(V, W)$ such that $T$ ..
Left-multiplication transformationDefinition 1. Let $A \in M_{m \times n}(F)$. We denote by $L_A$ the mapping $L_A: F^n \longrightarrow F^m$ defined by $\mathsf{L}_A(x) = Ax, \forall x \in F^n$. We call $\mathsf{L}_A$ a left-multiplication transformation.Theorem 1Theorem 1. Let $A, B \in M_{m \times n}(F)$. Then we have the following properties: (a) Every left-multiplication is linear.(b) $L_A \..
Kronecker delta Definition 1. We define the Kronecker delta $\delta_{ij}$ by $\delta_{ij} = \begin{cases} 1 & \text{if } i = j \\ 0 & \text{if } i \neq j. \end{cases}$ Identity matrix Definition 2. The $n \times n$ identity matrix $I_n$ is defined by $(I_n)_{ij} = \delta_{ij}$. Remark Remark. Let $A \in M_{n \times n}(F).$ Then $A$ is a diagonal matrix $\Longleftrightarrow A_{ij} = \delta_{ij} A..
이 포스트에서 $V, W, Z$는 모두 유한차원 $F$-벡터공간으로 취급한다. 함수의 합성은 보통 $g \circ f$로 표기하는데, linear transformation의 경우 $gf$로 표기하도록 하자. Theorem 1 Theorem 1. Let $T, U_1, U_2 \in \mathcal{L}(V, W)$, and let $U \in \mathcal{L}(W, Z)$. Then (a) $UT \in \mathcal{L}(V, Z)$. (b) If $UT$ is injective, then so is $T$. (c) If $UT$ is surjective, then so is $U$. (d) IF $T$ and $U$ are bijective, then so is $UT$. Introductio..
