Partition Definition 1. For a closed interval $[a, b]$, we subdivide the interval into subintervals, not necessarily of equal widths, as choosing $n-1$ points $\{ x_1, ..., x_{n-1} \}$ between $a$ and $b$ that are in increasing order, so that $x_0 = a partition of $[a, b]$. And we denote the width of the $k$th subinterval by $\Delta x_k$ which means that $\Delta x_k = x_k - x_{k-1}$. Norm of a P..

Rolle's TheoremTheorem 1. Let $f$ be a function that satisfies the following conditions:(1) $f$ is continuous on $[a, b]$.(2) $f$ is differentiable on $(a, b)$(3) $f(a) = f(b)$Then there is a number $c \in (a, b)$ such that $f'(c) = 0$.Proof. We may think of three cases. (1) If $f(x) = k$ for any constant $k$, then $c$ can be taken to be any number in $(a, b)$.(2) If $f(x) > f(a), \forall x \in ..

Fermat's TheoremTheorem 1. If $f$ has a local maximum or minimum at $c$, and if $f'(c)$ exists, then $f'(c) = 0$.Proof. Without loss of generality, suppose that $f$ has a local maximum at $c$. This means that $f(c) \geq f(c+h)$ for $h$ which is sufficiently close to $0$. If $h > 0$, we have $$\frac{f(c+h) - f(c)}{h} \leq 0 \\ \Longrightarrow \lim_{h \rightarrow 0^+} \frac{f(c+h)-f(c)}{h} = f'(c)..

Absolute Maximum and MinimumDefinition 1. Let $c$ be a number in the domain $D$ of a function $f$. Then $f(c)$ is the(1) absolute maximum value of $f$ on $D$ if $f(c) \geq f(x), \forall x \in D$.(2) absolute minimum value of $f$ on $D$ if $f(c) \leq f(x), \forall x \in D$.$f$의 maximum과 minimum은 extreme value of $f$, 즉 $f$의 극값이라고 부르기도 한다.  Local Maximum and MinimumDefinition 2. The number $f(c)$ ..

Conditional ProbabilityDefinition 1. Let $E$ and $F$ be events. We define the conditional probability that $E$ occurs given that $F$ has occurred, denoted by $P(E | F)$, by $$P(E | F) = \frac{P(EF)}{P(F)}$$ if $P(F) > 0$.사건 $F$가 먼저 일어났다는 가정 하에 $E$가 일어나는 확률을 위와 같은 방법으로 정의한다. 이때 sample space를 $F$로 한정 지을 수 있고, $F$와 동시에 $E$가 일어나야 하므로 위와 같은 정의는 합리적이다. 위 식에서 양변에 $P(F)$를 곱함으로써 $$P(EF) = P(F)P(E | F)$$로..

Axioms of ProbabilityLet $E \subset S$ be an event. Then we call the function $P : E \rightarrow \mathbb{R}$, following below conditions, the probability. (1) $$0 \leq P(E) \leq 1$$(2) $$P(S) = 1$$(3) For any sequence of mutually exclusive events $E_1, E_2, ...$, $$P(\bigcup_{i=1}^{\infty} E_i) = \sum_{i=1}^{\infty} P(E_i)$$통계적인 의미에서 확률은 relatvie frequency, 상대 빈도수의 관점에서 정의되었다. 즉, sample space가 $..

Union and IntersectionDefinition 1. For any events $E, F$, we define the union of $E$ and $F$ by $E \cup F$. Similarly, the intersection of $E$ and $F$ is defined as $EF = E \cap F$. 두 사건 $E, F$가 있을 때 이 사건 둘 중 하나가 혹은 둘 다 일어나는 사건을 union, 합사건이라고 하고, 둘 다 일어나는 사건을 intersection, 곱사건이라고 부른다. 숫자를 늘려서 다음과 같이 무한합, 무한곱도 정의할 수 있다. Definition 2. Let $E_1, E_2, ...$ be events. We define the union of these ev..

Sample SpaceDefinition 1. Sample space is the set of all possible outcomes of an experiment, and is usually denoted by $S$.모든 시행에서 나올 수 있는 결과값을 모아놓은 집합을 sample space, 표본 공간이라고 부른다.  EventDefinition 2. Any subset $E$ of the sample space is called an event. In other words, an event is a set consisting of possible outcomes of the experiment. If the outcome of the experiment is contained in $E$, the..

The Basic Principle of CountingThe Basic Principle of Counting. If an experiment consisting of two phases is such that there are $n$ possible outcomes of phase 1 and, for each of these $n$ outcomes, there are $m$ possible outcomes of phase 2, then there are $nm$ possible outcomes of the experiment. '곱의 법칙'으로 흔히들 배우는 내용이다. 첫 번째에서 $n$개의 케이스가 나오고, 각 케이스에 대해서 두 번째에는 $m$개의 케이스가 존재한다면 총 $nm$개의 케이스가 존재..

[본 독서인증은 스노우폭스북스의 지원을 받아 작성되었습니다.]성공한 사람들이 공통으로 하는 행동이, 치밀한 계획이 아니라 곧바로 시도하고 즉각 데이터를 얻어 장기적인 전략의 실용성 여부와 진행 가능성을 타진한다고 한다. 「더 빠르게 실패하기」 10p. 뻔하디 뻔한 얘기만 하겠거니, 싶었던 나의 선입견을 무르고 책을 펼친다. "나중에 볼 동영상"에 수십 개의 동영상을 썩히고 있던 내 자신을 돌아보며...https://product.kyobobook.co.kr/detail/S000214874201 더 빠르게 실패하기(15만 부 기념 에디션) | 존 크럼볼츠 - 교보문고더 빠르게 실패하기(15만 부 기념 에디션) | ‘실패’의 개념이 완전히 바뀌다.『더 빠르게 실패하기 Fail Even Faster』는 존 크..