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Divisible Definition 1. $b \in \mathbb{Z}$ is divisible by $a \neq 0$, denoted $a \,|\, b$, if $\exists c \in \mathbb{Z}$ such that $b = ca$. We write $a \nmid b$ if $b$ is not divisible by $a$. $b$가 $a$로 divisible, 즉 나누어 떨어진다는 것은 $a$의 적당한 정수배가 $b$와 같다는 뜻이다. 이때 어떠한 정수라도 가능하며, 따라서 0은 모든 정수로 나누어 떨어진다. Theorem 1 Theorem 1. For $a, b, c \in \mathbb{Z}$, the following hold: (a) $a \,|\, 0, 1 \,|\, a,..

Division Algorithm Theorem 1. (Division Algorithm) Let $a, b \in \mathbb{Z}$, with $b \neq 0$. Then $! \exists q, r \in \mathbb{Z}$ such that $a = qb + r (0 \leq r 0$, and let $S := \{a - xb \geq 0 \, | \, x \in \mathbb{Z}\}$. Since $b \geq 1$, $0 \leq a + |a| \leq a + |a|b$= $a - (-|a|)b$. Thus $S \neq \emptyset$. By Well-Ordering Principle, there is the least element $r \in S$. Then $\exists ..

Mathematical Induction Mathematical Induction. Let $S \subseteq \mathbb{N}$ with the following properties: (a) $n_0 \in S$ for some $n_0 \in \mathbb{N}$. (b) $k \in S \Longrightarrow k+1 \in S$. Then $S = \mathbb{N} \backslash \{1, ..., n_0 - 1\}$. $n_0 = 1$로 택하면 흔히 볼 수 있는 수학적 귀납법이 된다. Proof. Suppose that $T := (\mathbb{N} \backslash \{1, ..., n_0 - 1\}) \backslash S \neq \emptyset$. Then $T \su..

Archimedean Property Archimedean Property. Let $a, b \in \mathbb{N}$. Then $\exists n \in \mathbb{N}$ such that $na > b$. 해석학에서 언급하는 아르키메데스의 성질의 정수론 버전이며, $a, b$를 자연수로 가져온 것 말고 차이는 없다. Proof. Suppose that $\forall n \in \mathbb{N}, na \leq b$. Let $S := \{b - na \, | \, n \in \mathbb{N}\}$. Since $b - na > 0$, $\emptyset \neq S \subseteq \mathbb{N} \cup \{0\}$. Then by Well-Ordering Principle, $..

Well-Ordering PrincipleWell-Ordering Principle. Let $\emptyset \neq S \subseteq \mathbb{N} \cup \{0\}$. Then $S$ is well-ordered, that is, $\exists a \in S$ such that $a \leq b, \forall b \in S$.정렬 원리라고도 하며, 집합 내에서 최소 원소의 존재성을 보장해준다. 선택 공리와 동치이므로 ZFC 공리계에서 문제없이 받아들일 수 있다.

Determinant, 무엇을 결정(determine)한다는 말일까? 그 답을 찾기 위해서 우리는 the system of linear equations로 돌아가야 한다. Square matrix $A$에 대해서 $A \textbf{x} = \textbf{b}$라는 system이 주어져 있다. 이때 적절한 elementary row operation을 통해 $A$를 identity matrix $I$와 row-equivalent하도록 변형할 수 있는 경우가 존재할 수 있다. 그말인즉슨 $A$가 invertible하여서 사용한 elementary matrix들의 곱이 $A$의 inverse가 된다는 말이고, 역으로 어떻게 elementary row operation을 하여도 $I$와 row-equivale..

Equivalence of the system of linear equationsDefinition 1. Two systems of linear equations are called equivalent if they have the same solution set.Theroem 1Theorem 1. Let $Ax = b$ be a system of $m$ linear equations in $n$ unknowns, and let $C$ be an invertible $m \times m$ matrix. Then the system $(CA)x = Cb$ is equivalent to $Ax = b$.Proof. Denote $K$ and $K_C$ the solution set to $Ax = b$ an..

Reduced Row Echelon FormDefinition 1. A matrix is said to be in row echelon form (REF) if the following conditions are satisfied:(1) Any row containing a nonzero entry precedes any row in which all the entries are zero.(2) The first nonzero entry in each row is $1$, called the leading $1$, or the pivot.(3) Below each leading $1$ is a column of zeros.A matrix is said to be in reduced row echelon ..

Homogeneous SystemDefinition 1. A system $Ax = b$ is said to be homogeneous if $b = 0$. Otherwise it is said to be nonhomogeneous.    번역하면 homogeneous는 '동차', 즉 차수가 같다는 말이다. $b$는 방정식에서 상수항에 해당되고, 그 외의 항들은 모두 차수가 1인 미지수들이 곱해져 있다. 즉 $b$에 해당하는 항들을 제외하면 모두 미지수의 차수가 같으므로, 만일 상수항이 0이라면 상수항에 동일한 차수의 미지수를 곱한 것으로 생각할 수 있으므로 시스템 자체를 차수가 같은, 즉 동차 연립방정식이라고 볼 수 있다.Theorem 1Theorem 1. Let $Ax = \mathbf{0}$ be ..

A System of Linear EquationsDefinition 1. The system of equations $$a_{11}x_1 + \cdots + a_{1n}x_n = b_1 \\ \vdots \\ a_{m1}x_1 + \cdots + a_{mn}x_n = b_m,$$ where $a_{ij}, b_i \in F$ and $x_j$ are $n$ variables taking value in $F$, is called a system of $m$ linear equations in $n$ unknowns over $F$.     번역하면 선형 연립방정식이며, $A =\begin{pmatrix} a_{11} & \cdots & a_{1n} \\\vdots & \ddots & \vdots \\a..