Adjoint of Matrix
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Mathematics/Linear Algebra
Adjoint of Matrix Definition 1. Let AMm×n(F)AMm×n(F). We define the adjoint or conjugate transpose of AA to be the n×mn×m matrix AA such that (A)ij=¯Aji(A)ij=¯¯¯¯¯¯¯Aji for all i,ji,j. Theorem 1 Theorem 1. Let A,BMm×n(F)A,BMm×n(F), and let CMn×pCMn×p. Then (a) (A+B)=A+B(A+B)=A+B (b) (cA)=¯cA,cF(cA)=¯¯cA,cF. (c) $(AC)^* = C^*A^*..
Inner Product Space
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Mathematics/Linear Algebra
이 포스트에서 VVFF-벡터공간으로 취급한다.Inner ProductDefinition 1. An inner product on VV is a function ,:V×VF,:V×VF, such that x,y,zVx,y,zV and cFcF, the following hold:(a) x+z,y=x,y+z,yx+z,y=x,y+z,y.(b) cx,y=cx,ycx,y=cx,y.(c) $\overline{ \langle x, y \rangle..
The Cayley-Hamilton Theorem
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Mathematics/Linear Algebra
The Cayley-Hamilton Theorem Theorem 1. (The Cayley-Hamilton Theorem) Let TL(V)TL(V), and let f(t)f(t) be the characteristic polynomial of TT. (V is finite-dimensional) Then f(T)=T0f(T)=T0, the zero transformation. Proof. We need to show that f(T)(v)=0,vVf(T)(v)=0,vV. If v=0v=0, it is clear. Suppose that v0v0. Let WW be the TT-cyclic subspace of ..
The Cyclic Subspace
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Mathematics/Linear Algebra
The Cyclic SubspaceDefinition 1. Let TL(V)TL(V), and let a nonzero vector xVxV. The subspace W=x,T(x),T2(x),...W=x,T(x),T2(x),... is called the TT-cyclic subspace of VV generated by xx.Theorem 1Theorem 1. Let TL(V)TL(V), and let WW be the TT-cyclic subspace of VV generated by 0xV0xV. Then(a) WW is TT-invariant.(b) Any TT-invariant su..
The Invariant Subspace
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Mathematics/Linear Algebra
The Invariant SubspaceDefinition 1. Let TL(V)TL(V). Then WVWV is called a TT-invariant subspace of VV if T(W)WT(W)W.    WW의 image가 다시 WW에 포함될 때 WWTT-불변 부분공간이라고 부른다. 자명하게 {0},V,R(T),N(T),Eλ{0},V,R(T),N(T),EλTT-불변 부분공간임을 알 수 있다.The restriction of a Linear OperatorDefinition 2. Let TL(V)TL(V), and let WW be a TT-invariant subspace of VV. T..
How to Diagonalize a Linear Operator
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Mathematics/Linear Algebra
어떤 선형 연산자 TT가 주어졌을 때 대각화가능한지 결정하고, 가능하다면 대각화하도록 고유벡터들로 이루어진 기저 ββ를 찾는 것이 우리의 목표이다. TT의 고유값은 특성 다항식 f(t)=det(TtI)f(t)=det(TtI)를 풀어서 구할 수 있다. 만약 이를 통해 서로 다른 고유값 λ1,...,λkλ1,...,λk를 구했을 때, 이 고유값들에 대응되는 고유벡터들은 vEλvEλ을 이용해서 구할 수 있다. 이제 이 고유벡터들로 기저를 구성해야 하고, 그 방법을 아래의 정리들이 제시해준다. Theorem 1Theorem 1. Let TL(V)TL(V), and let λ1,...,λkλ1,...,λk be distinct ei..
The Algebric Multiplicity and Geometric Multiplicity
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Mathematics/Linear Algebra
The MultiplicityDefintion 1. Let TL(V)TL(V), and let λλ be an eigenvalue of TT with characteristic polynomial f(t)f(t). Then (a) The algebric multiplicity of λλ is the largest positive integer kk for which (tλ)k(tλ)k is a factor of f(t)f(t).(b) The geometric multiplicity of λλ is dim(Eλ)dim(Eλ) where EλEλ is the eigenspace of T corresponding to..
The Eigenspace
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Mathematics/Linear Algebra
The EigenspaceDefinition 1. Let TL(V)TL(V), and let λλ be an eigenvalue of TT. The eigenspace of TT corresponding to λλ is the set Eλ=N(TλIV)={xV|T(x)=λx}Eλ=N(TλIV)={xV|T(x)=λx}. Analogously, we define the eigenspace of a square matrix AA to be the eigenspace of LALA.    즉 주어진 고유벡터 λλ에 대응하는 고유공간 EλEλλλ에 대응하는 고유벡터들과 영..
The Prime Number
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Mathematics/Number Thoery
The Prime Number Definition 1. An integer p>1p>1 is called a prime number (or prime) if its only positive divisors are 1 and pp. An integer greater than 1 that is not a prime is called a composite. 양의 약수로 1과 자기 자신 밖에 가지지 않는 수를 소수라고 하고, 그렇지 않은 수를 합성수라 한다. 나눗셈이라는 연산의 관점에서 볼 때 더이상 쪼개지지 않는, 마치 원자와 동일한 역할을 수행하는 대상이다. 소인수분해라는 개념이 괜히 있는 것이 아니다. 정수들을 이루는 벽돌과도 같은 기본 단위가 소수이기 때문에 소수를 기준으로 정수를 분해하는 것이다. ..
The Linear Diophantine Equation
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Mathematics/Number Thoery
The Linear Diophantine Equation Definition 1. Let a,b,cZ with a0,b0. The equation ax+by=c that is to be solved in the integers is called the linear diophatine equation in two unknowns. 교과과정에서는 일차 부정방정식으로 소개되는 선형 디오판토스 방정식이다. 보통 정수를 계수로 가지는 다항식의 정수해를 찾는 것을 의미한다. 해를 가지는 조건과 해의 구체적인 형태가 깔끔하게 알려져 있다. Theorem 1 Theorem 1. The linear diophantine equation $ax + ..