30) 중력 시간 팽창 특수 상대성 이론에서 관성 좌표계에 있는 관측자에 대해 등속도로 움직이는 좌표계의 시간은 천천히 간다는 시간 팽창을 논의했었다. 일반 상대성 이론에서는 특수 상대성 이론에서의 시간 팽창의 일반적인 형태의 시간 팽창을 논할 수 있다. 이때의 시간 팽창은 '중력 시간 지연'(Gravitationla Time Dilation)으로, 임의의 질량체가 주변 시공간을 왜곡함으로써 서로 다른 거리에 있는 관찰자들이 각자 관찰한 사건의 시간이 다르게 보이는 현상이다. 이때 중력장이 강할수록 시간은 천천히 간다. Figure 1과 같이 질량 $M$을 가지는 구형 천체가 균일한 중력장을 형성하고, 천체 중심으로부터 $r$만큼 떨어진 지점에서 등속도 $v$로 움직이는 우주선이 있다. 이때 우주선에 대..

27) 측지선 방정식 계속해서 설명했듯이, 질량체는 주변 시공간을 휘어지게 만들고 다른 물체는 그 휘어진 시공간의 측지선(Geodesic)을 따라 움직이게 된다. 이때 '측지선 방정식'을 통해 그 휘는 각도를 계산할 수 있다. 앞서 등가성의 원리를 설명할 때, 중력은 단지 가속효과에 불과하다고 하였다. 그렇다면 위의 그림 (a) 처럼 균일한 중력장 하에서 지점 $a$로부터 $b$까지 서로 다른 경사각으로 던져진 두 개의 공 $A$와 $B$가 있다고 하자. 이때 두 공이 그리는 포물선은 서로 다른 궤적이다. 두 공은 모두 같은 중력장의 영향을 받으므로 같은 가속도를 가진다. 중력이 단지 가속효과에 불과하다면, 같은 가속도를 받는 두 개의 공 $A$와 $B$는 같은 궤적을 그려야 하는 게 자연스럽지 않을까?..

25) 중력장에서의 빛의 휨 앞 포스트에서 서술했듯이, 일반 상대성 이론은 질량체가 주변 시공간을 휘어지게 만들고 다른 물체들은 그 휘어진 시공간에서 측지선을 따라 이동한다는 것을 말해준다. 이때 빛 또한 예외가 아니며, 따라서 중력장에서 빛은 휘어진 궤도를 따라 이동하게 된다. 위의 그림과 같이 고립된 상자 안에 관찰자가 있고, 상자는 위쪽 방향으로 등가속 운동한다. 이때 상자 안으로 빛이 들어온다면, 빛의 입장에서는 직진하는 것이지만 상자는 위로 가속 운동하고 있으므로 상자 안의 관측자는 빛이 시간에 따라서 $$h = \frac{1}{2}at^2$$ 만큼의 거리를 이동하는 것으로 관측할 것이다. 비관성 좌표계에서 빛이 휜다면, 등가성의 원리에 따라 중력장이 작용하는 정지한 계에서도 동일하게 빛은 휘어..

23) 일반상대성이론의 배경 1905년에 발표된 특수상대성이론이 관성 좌표계, 즉 등속도로 움직이는 좌표계에서 일어나는 현상들에 대해 다룬 이론이라면, 1915년 발표된 일반상대성이론은 비관성 좌표계, 즉 등속도가 아닌 가속 좌표계에서 일어나는 현상들에 대해 다룬 이론이다. 0장에서 설명했듯이, 일반 상대성 이론은 '중력이란 무엇인가?'라는 질문에 답하는 이론으로, 주로 중력과 중력효과에 대해서 다룬다. 앞전 포스트에서 설명한 것처럼 민코프스키는 민코프스키 시공간이라는 특수 상대성 이론의 기하학적 배경을 만들었다. 이후 1912년 자신의 모교인 취리히 공과대학의 교수가 된 아인슈타인에게 자신의 친구이자 동 대학 수학 교수인 그로스만(Marcel Grossmann)은 특수 상대성 이론을 비관성 좌표계로 확..

21) 특수상대성이론의 반향 특수 상대성 이론이 발표된 직후 과학계의 반응은 다양했다. 아인슈타인이라는 20대 청년이, 그것도 박사도 아닌, 지금까지 절대적으로 여겨졌던 뉴턴의 이론을 깨부수고 새로운 시공간의 개념을 제안하였으니 납득하기 힘들만 하다고 생각이 된다. 당연히 대부분의 과학자들은 '형편없는 사기꾼'이나 '이해할 수 없는 이론을 적당히 포장한 사람'이라고 비난하는 등 보수적이고 회의적인 태도를 견지했다. 에테르에 집착한 로렌츠나 푸엥카레 역시 아인슈타인의 논문을 이해하지 못했다고 전해진다. 그러나 개중에는 '인류 철학사와 과학사에서 가장 뛰어난 성취'라고 하며 상대론을 지지하는 이들도 있었다. 1900년, 양자이론을 처음 주장한 막스 플랑크(Max Planck)는 아인슈타인의 주장에 매료되어 ..

20) 상대론적 운동량과 에너지의 관계 고전역학에서 운동 에너지와 운동량은 다음과 같은 관계를 갖는다. $$K = \frac{p^2}{2m}$$ 이번엔 지난 포스트에서 살펴본 질량 - 에너지 등가성과 상대론적 운동량을 가지고 상대론적 에너지와 운동량 간의 관계를 살펴보자. 특수 상대성 이론에서 총 에너지와 운동량은 다음과 같이 주어지는 것을 상기하라. $$E = \gamma m_0 c^2 \\ p = \gamma m_0 v$$ 이 두 식을 제곱한 뒤 $E^2$에서 $p^2 c^2$을 빼면 다음과 같은 관계식을 얻는다. $$E^2 - p^2 c^2 = \gamma ^2 m^2_0 c^4 - \gamma ^2 m^2_0 v^2 c^2 = \gamma ^2 m^2_0 c^4 (1 - \frac{v^2}{c^2..

18) 상대론적 힘 앞서 살펴보았던 상대론적 운동량을 가지고 상대론적 힘을 유도해보자. 뉴턴의 운동 법칙 $$F = \frac{dp}{dt}$$ 로부터 $$F = \frac{dp}{dt} = \frac{d}{dt}(\gamma m_0 v) = m_0 v \frac{d\gamma}{dt} + \gamma m_0 \frac{dv}{dt} \\ = m_0 v [-\frac{1}{2}(1 - \frac{v^2}{c^2})^{-\frac{3}{2}} \cdot (-\frac{2v}{c^2})\frac{dv}{dt}] + \gamma m_0 a \\ = \gamma m_0 a (\frac{1}{1 - \frac{v^2}{c^2}}) = \gamma ^3 m_0 a = \gamma F_0 \\ \Longrightar..

17) 상대론적 질량과 운동량 이전까지의 고전역학에 의하면, 물체에 에너지를 가하면 속도가 증가하여 운동량 혹은 운동 에너지가 증가하게 된다. 그러나 앞선 논의를 통해 물체의 속도의 크기는 결코 광속을 넘을 수 없으므로, 어떤 형태로든 질량이 증가할 수 밖에 없다는 생각을 할 수 있다. 이것을 상대론적으로 유도한 결과가 상대론적 질량, $$m = \gamma m_0$$ 이다. 이때 $m_0$는 관성질량으로, 상대론에서는 정지질량(Rest Mass)이 된다. 물체의 속도의 크기가 광속에 비해 매우 작은 경우, 고전적 질량으로 환원된다. 위 식의 양변에 물체의 속도 $v$를 곱하면, 상대론적 운동량이 얻어진다. $$p = mv = \gamma m_0 v$$ 수평 방향으로 두 물체 사이의 충돌을 통해 이를 유..

15) 쌍둥이 역설 상대성이론과 함께 많은 사람들에게 알려지게 된 쌍둥이 역설(Twin Paradox)을 살펴보자. 쌍둥이 역설은 1911년 솔베이 회의에서 랑저뱅(Paul Langevin)에 의해서 처음 거론된 역설로, 초기에는 많은 논쟁거리를 낳았으나 이후 많은 방법들로 논파된 역설이다. 위의 그림에서 $A$와 $B$는 쌍둥이로, $A$는 광속에 가까운 크기의 속도 $V$로 움직이는 우주선을 타고 지구에서 별까지 왕복 여행을 다녀온다고 하자. $B$는 지구에 남아있고, $B$를 기준으로 지구와 별 사이의 고유길이는 $L_0$이다. $B$ 기준으로 $A$는 광속에 가까운 크기의 속도로 움직이므로 시간 팽창에 의해 $A$가 타고 있는 우주선의 시계는 자신의 고유시간 $\Delta t_0$에 비해 $\De..

13) 광시계를 통한 시간 팽창의 유도 지난 포스트에서 로렌츠 변환으로 유도했던 시간 팽창을 Light Clock, 즉 광시계를 통한 사고실험을 도입해서 유도할 수 있다. 다음과 같이 $+x$축 방향으로 $V$의 속력으로 움직이는 우주선 안에 빛이 100% 반사율을 가지는 두 개의 거울 사이를 왕복 운동하는 장치가 있다. 거울 사이의 거리는 $L_0$로 일정하므로, 광속 불변의 원리에 의해 빛이 왕복운동하는 횟수는 시간에 비례하므로 이를 시계로 사용할 수 있다. 이때 우주선 내부 좌표계에서는 빛이 t0의 시간 간격을 가지고 위아래로만 왕복 운동하는 것으로 관측될 것이므로 $2L_0 = c \cdot t_0$ 의 관계가 성립한다. 그러나 우주선 밖 좌표계 기준으로는 우주선이 운동하고 있으므로 거울이 움직여..