Definition 1 Definition 1. (a) An $m \times n$ matrix with entries from a field $F$ is a rectangular array of the form $$\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{pmatrix}$$ where each entry $a_{ij}\, (1 \leq i \leq m, 1 \leq j \leq n)$ is an element of $F$. (b) The entries $a_{ij..

Basis Definition 1. A basis $\beta$ for $V$ is a linearly independent subset of $V$ such that = $V$. generating set은 해당 벡터 공간의 정보를 알려주는 집합이고, 이때 최대한 그 크기를 줄인 집합이 linearly independent set이었다. 즉 두 조건을 모두 만족시키는 집합이야말로 벡터 공간을 다루기에 가장 좋은 집합이므로, 기저라는 이름으로 정의한다. Remark Remark. (a) A basis can be infinite. (b) Since = $\{\mathbf{0}\}$ and $\emptyset$ is linearly independent, $\emptyset$ is a basis for $..

GenerateDefinition 1. We say that $S \subseteq V$ generates (or spans) $V$ if = $V$. In this case, we also say that the vectors of $S$ generate (or span) $V$.    어떤 벡터 공간 $V$에 대해서 이를 생성하는 집합을 알 수 있다면 $V$를 다루는 것이 훨씬 수월해진다. 굳이 전체 공간인 $V$를 다룰 필요 없이 훨씬 더 작은 크기의 집합을 가지고 $V$를 표현할 수 있기 때문이다. 이때 이러한 generating set은 여러 개가 존재할 수 있기에 그중에서도 가장 크기가 작은 집합을 고르는 것이 자연스럽다.     예컨대 어떤 generating set 안의 한 벡터가 그 집..

Linear combination Definition 1. Let $\emptyset \neq S \subseteq V$. A vector $v \in V$ is called a linear combination of vectors of $S$ if $\exists$ $u_1, u_2, ..., u_n \in S$ and $a_1, a_2, ..., a_n \in F$ such that $$v = \sum_{i=1}^{n} a_iu_i.$$ 쉽게 말해 벡터 $v$를 적당히 다른 벡터들의 합으로 표현할 수 있다면, 이때 $v$를 linear combination이라고 한다. Note. Since $0v = \mathbf{0}, \forall v \in S$, $\mathbf{0}$ is a linear c..

SubspaceDefinition 1. Let $V$ be a vector space over $F$. $W \subseteq V$ is called a subspace of $V$, denoted by $W \leq V$, if $W$ is a vector space over $F$ with the same operations defined on $V$.    즉 벡터공간 $V$와 동일한 field와 연산을 가진, 다시 말해 동일한 대수적 구조를 가지면서 크기만 줄인 $V$의 부분집합을 $V$의 subspace라고 부른다.Note. For any vector space $V$, $V \leq V, \{\mathbf{0}\} \leq V$.    어떤 집합 $W$가 주어졌을 때 $W$가 $V$의 subs..

Vector space    이전까지, 즉 기초 미적분학이나 일반물리 정도의 수준에서는 벡터의 정의를 단순히 크기와 방향을 동시에 가지는, 크기만 가지는 스칼라와는 구분되는 양으로 정의해서 사용해 왔다. 이때 데카르트 좌표계(Cartesian Coordinate)를 적용시키면 모든 벡터는 (그것이 영벡터가 아닌 이상) 하나의 화살표로 표시할 수 있었다. 이러한 단순한 벡터의 정의를 더욱 추상화한, 수학적으로 일반화한 것이 Vector space의 개념이다. 벡터 공간은 아래와 같은 특정 조건을 만족하는 원소들을 모아놓은 집합이며, 이 집합의 원소를 벡터라고 정의한다. Definition. A vector space $V$ over a field $F$ consists of a set on which tw..