IntegersDefinition 7.1. The set of integers, denoted $\mathbb{Z}$, is the set $$\{0\} \cup \mathbb{P} \cup -\mathbb{P}$$ where $- \mathbb{P} = \{ -n \, | \, n \in \mathbb{P} \}$. RationalsDefinition 7.2. The set of rational numbers, denoted $\mathbb{Q}$, is the set $$\left\{ \frac{p}{q} \;\middle|\; p, q \in \mathbb{Z} \text{ and } q \neq 0 \right\}$$Integer ExponentsDefinition 7.3. Let $x \in \..

Successor Set Definition 6.1. A set $X \subseteq \mathbb{R}$ is said to be a successor set (i) if $1 \in X$,(ii) if $n \in X$, then $n+1 \in X$.실수 집합 $\mathbb{R}$은 그 자체로 successor set이기 때문에,(A9, A1) 위와 같이 정의한 successor set은 적어도 하나는 존재한다고 말할 수 있다. Lemma 6.2Lemma 6.2. If $\mathcal{A}$ is any nonempty collection of successor sets, then $\cap \mathcal{A}$ is a successor set. Proof. Since $1$ is in e..

Binary OperationDefinition 3.1. A binary operation on a set $X$ is a function from $X \times X$ into $X$. Real Number Definition 3.2. The real numbers $\mathbb{R}$ is a set of objects satisfying Axioms 1 to 13 as listed in the following:(A1) There is a binary operation, called addition and denoted $+$, such that $x, y \in \mathbb{R} \Longrightarrow x + y \in \mathbb{R}$,(A2) $(x + y) + z = x + (..

주어진 행렬을 LU decomposition을 한 뒤 $L$과 $U$ 행렬 각각의 inverse를 구하면 역행렬을 빠르게 구할 수 있다. 이때 triangular matrix의 inverse를 빠르게 계산하는 방법을 소개하려고 한다. 예컨대 다음과 같은 상삼각 행렬의 역행렬을 계산해 보자. $$U = \begin{pmatrix} 3 & 6 & 8 \\ 0 & 4 & 7 \\ 0 & 0 & 5 \end{pmatrix}$$ 이때 각각의 성분에 대해서 따로따로 생각해 보자. Gauss elimination을 생각하면 역행렬의 대각 성분은 원행렬의 대각 성분의 역수가 된다. $$U^{-1} = \begin{pmatrix} \frac{1}{3} & * & * \\ 0 & \frac{1}{4} & * \\ 0 & ..

우리는 주어진 곡선 $C$가 얼마나 휘어있는지를 측정하고자 한다. 직관적으로 생각해보면 같은 원이라고 하더라도 반지름이 클수록 원은 국소적으로 덜 휘어있고, 반지름이 작을수록 더 휘어있다고 말할 수 있다. 그렇다면 이러한 곡선의 휜 정도를 나타내는 값, 즉 곡률을 어떤 곡선의 방정식이 주어졌을 때 어떤 방식으로 정의할 수 있을까? 한 가지 떠올릴 수 있는 방법은 tangent vector를 이용한 방법이다. 곡선의 tangent vector, 즉 속도는 곡선의 진행 방향과 평행한 접선 벡터인데, 곡선이 많이 휘어있다면 이동경로가 많이 뒤틀린다는 뜻이고 그만큼 tangent vector의 변화량이 크다는 뜻이다. 이는 곡률을 tangent vector의 변화량으로 측정할 수 있음을 시사한다. 이 값은 물리..

GroupDefinition 1. A group $\langle G, \ast \rangle$ is a set $G$, closed under a binary operation $\ast$, such that the following axioms are satisfied:(1) $\forall a, b, c \in G$, $(a \ast b) \ast c = a \ast (b \ast c)$(2) $\exists e \in G$ such that $\forall x \in G$, $e \ast x = x \ast e = x$(3) $\forall a \in G$, $\exists a' \in G$ such that $a \ast a' = a' \ast a = e$.

The Arithmetic-Geometric Mean InequalityTheorem 1. Let $a_1, ..., a_n > 0$. Then $$\frac{a_1 + \cdots + a_n}{n} \geq (a_1 \cdots a_n)^{\frac{1}{n}},$$ with the equality holds $\iff$ $a_j = a_1, \forall j, 2 \leq j \leq n$.Proof. Let $S$ be the set of all natural numbers which satisfy the given inequality. Cleary $1 \in S$. Firstly, we claim that $\{2^k \, | \, k \in \mathbb{N} \} \subseteq S$.$(..

Axiom of ChoiceAxiom of Choice. To any nonempty family $\mathcal{P}$ whose elements are nonempty sets, there exists a function called a choice function $$f : \mathcal{P} \longrightarrow \bigcap_{A \in \mathcal{P}} A$$ such that $f(A) \in A$ for all $A \in \mathcal{P}$. 다시 말해 임의의 집합족이 있을 때 집합족의 원소인 각 집합에서 하나씩 원소를 꺼내서 대응시키는 그러한 함수가 존재한다는 내용이다. 집합족이 유한할 때는 당연하지만, 문제는 무한한 경우이다. (문제는 항상 무한에서 발생한다.) 쉽..

CardinalityDefinition 1. We define the cardinality of a set $X$, denoted by card $X$, by satisfying the following properties: (1) Each set $A$ is associated with card $A$, and for each cardinality $a$ there is a set $A$ with card $A = a$.(2) Card $X = 0 \iff X = \emptyset$(3) If $X \sim \mathbb{N}_k$ for some $k \in \mathbb{N}$, then card $X = k$.(4) For any two sets $A$ and $B$, card $A$ = card..

Denumerable and Countable SetsDefinition 1. A set $X$ is said to be denumerable if $X \sim \mathbb{N}$. A countable set is a set which is either finite or denumerable.Countable set은 말 그대로 대상들을 하나하나 '셀 수 있는', 가산집합을 의미한다. 유한집합은 직관적으로도 당연히 셀 수 있다. 말 그대로 대상이 유한 개니까 시간은 좀 걸리더라도 언젠가 끝이 있기 때문이다. 그러나 무한집합의 경우는 어떻게 가능할까? 비록 세아려야 할 대상이 무한하지만, 각 대상이 모두 번호가 붙어 있어서 우리에게 그 번호의 규칙이 주어진다면 다른 의미에서 셀 수 있다고 말할 수 있..