Mathematics

InjectiveDefinition 1. A function $f : X \longrightarrow Y$ is said to be injective or one-to-one if $x_1, x_2 \in X$ with $f(x_1) = f(x_2)$, then $x_1 = x_2$. SurjectiveDefinition 2. A function $f : X \longrightarrow Y$ is said to be surjective or onto if $y \in Y$, then there exists $x \in X$ such that $f(x) = y$. In other words, $f : X \longrightarrow Y$ is surjective $\iff f(X) = Y$.Bijectiv..

FunctionDefinition 1. Let $X, Y$ be sets. A function from $X$ to $Y$ is a relation $f$ from $X$ to $Y$ satisfying (a) Dom($f$) = $X$,(b) If $(x, y) \in f$ and $(x, z) \in f$, then $y = z$.$(x, y) \in f$는 관습상 $xfy$가 아닌 $y = f(x)$라고 쓴다. 또한 $X$에서 $Y$로의 관계인 함수 $f$는 $f : X \longrightarrow Y$와 같이 표기한다. The Condition For Functions To Be EqualTheorem 1. Let $f, g : X \longrightarrow Y$ be functions. The..

PartitionDefinition 1. Let $X$ be a nonempty set. A partition $\mathcal{P}$ of $X$ is a set of nonempty subsets $X$ such that (a) If $A, B \in \mathcal{P}$ and $A \neq B$, then $A \cap B = \emptyset$(b) $\cup_{C \in \mathcal{P}} C = X$.직관적으로 말하면, partiton은 집합 $X$를 겹치는 부분 없이 잘라놓은 집합이라고 할 수 있다. Equivalence Class, Quotient SetDefinition 2. Let $R$ be an equivalence relation on a nonempty set $X$. F..

UnionDefinition 1. Let $\mathcal{F}$ be a family of sets. The union of the sets in $\mathcal{F}$, denoted by $\cup_{A \in \mathcal{F}} A$ is the set of all elements that are in $A$ for some $A \in \mathcal{F}$. That is, $$\bigcup_{A \in \mathcal{F}} A = \{ x \in U \, | \, \exists A \in \mathcal {F}, x \in A \}.$$ IntersectionDefinition 2. Let $\mathcal{F}$ be a family of sets. The intersection of..

Divergence TheoremTheorem 1. Let $\mathbf{F}$ be a vector field whose components have continuous first partial derivatives, and let $S$ be a piecewise smooth oriented closed surface. The flux of $\mathbf{F}$ across $S$ in the direction of the surface’s outward unit normal field $\mathbf{n}$ equals the triple integral of the divergence $\nabla \cdot \mathbf{F}$ over the region $D$ enclosed by the..

Stokes's Theorem Theorem 1. Let $S$ be a piecewise smooth oriented surface having a piecewise smooth boundary curve $C$. Let $\mathbf{F} = \langle M, N, P \rangle$ be a vector field whose components have continuous first partial derivatives on an open region containing $S$. Then the circulation of $\mathbf{F}$ around $\mathbf{C}$ in the direction counterclockwise with respect to the surface’s un..

Surface Integral of Scalar FunctionsLine integral이 임의의 곡선 위에서 함수를 적분하는 것이었다면, 이를 확장하여 임의의 surface 위에서 함수를 적분해보자. Scalar function $G(x, y, z)$와 smooth한 곡면 $S$가 있을 때, $S$는 $uv$ 평면의 region $R$에서 좌표 공간으로의 transformation인 $\mathbf{r}(u, v) = \langle f(u, v), g(u, v), h(u, v) \rangle$에 의해 parametrization된다. $S$의 area를 구했을 때와 같이, $R$을 잘게 쪼갠 piece에 대응되는 $S$ 위의 patch의 넓이를 $\Delta \sigma_{uv}$라고 하면 tangen..

Parametrization of SurfacesDefinition 1. Suppose $\mathbf{r}(u, v) = \langle f(u, v), g(u, v), h(u, v) \rangle$ is a continuous vector function that is defined on a region $R$ in the $uv$-plane and one-to-one on the interior of $R$. We call the range of $\mathbf{r}$ the surface $S$ defined or traced by $\mathbf{r}$. The vector function together with the domain $R$ constitutes a parametrization o..

Spherical CoordinatesDefinition 1. Spherical coordinates represent a point $P$ in space by ordered triples $(r, \theta, \phi)$ in which $r \geq 0$ and $0 \leq \phi \leq \pi$.위 그림과는 다른 기호를 사용하였다. $r$은 원점에서부터의 거리, $\theta$는 원점과 점 $P$를 이은 선분과 $z$ 축이 이루는 각도, $\phi$는 cylindrical coordinates에서와 동일하게 $x$ 축과 선분 $OP$를 $xy$ 평면에 정사영한 선분이 이루는 각도이다.  마찬가지로 구 좌표계는 cartesian coordinates와 자유롭게 변환이 가능하다. $(x, y,..

Cylindrical CoordinatesDefinition 1. Cylindrical coordinates represent a point $P$ in space by ordered triples $(\rho, \phi, z)$ in which $r \geq 0$. 단순히 polar coordinates에다가 $z$ 성분만 추가한 3차원 좌표계이다. 위 그림에는 $(r, \theta, z)$로 나타냈지만 생새우초밥집 저자의 주장을 받아들여 $(\rho, \phi, z)$로 쓰도록 하자.  원통 좌표계는 좌표공간에서 cartesian coordinates과 자유롭게 변환할 수 있다. $(x, y, z)$는 $(\rho \cos \phi, \rho \sin \phi, z)$로 바꿀 수 있으며, 반대로 $(..