Wallis's Integral$$ \begin{align} &(1) \quad I_n = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin ^n x dx = \frac{n-1}{n} I_{n-2} \\ &(2) \quad I_m = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos ^m x dx = \frac{m-1}{m} I_{m-2}. \end{align} $$공부하다보면 구간이 $0$부터 $\frac{\pi}{2}$까지 일 때 $\sin, \cos$의 거듭제곱을 적분해야 하는 상황이 의외로 자주 발생한다. 이때 이 값을 매번 구하려면 귀찮으므로, Wallis's Integral, 월리스 적분이라고 불리는 공식을 사용하도록 하자.  유도 과정은 Integration by parts를 사용하여 다..

Double IntegralTwo-variable function의 definite ingetral을 다뤄보자. Single variable에서 정의한 definite integral과 별반 다를 건 없다. 다만 변수가 두 개가 되었으므로 partition이라든지, norm이라든지 하는 대상을 조금 확장하여서 정의하고 이를 기반으로 Riemann sum과 그 극한으로 double integral을 정의한다. 함수 $z = f(x, y)$가 있다. 일변수에서는 interval을 잘게 쪼갰다면, 이제는 rectangular region을 $x, y$축으로 잘게 쪼갠다. 이렇게 잘게 쪼갠 piece들은 어떻게든 numbering하여 모은 집합을 partition $P$이라고 하고, 이 piece들의 가로, 세..

Introduction 다변수함수의 극값을 찾기 위한 방법 중 하나로 second derivative test가 있었다. 그런데 만약 함수의 domain이 명시적으로 주어진 것이 아닌, 예컨대 어떤 방정식 $g(x, y, z) = 0$으로 표현되는 "구속조건(constraint)"으로 주어진다면 test를 적용하기가 쉽지 않다. 물론 어찌어찌 parametrize하여 명시적으로 구할 수도 있겠지만, 대게 쉽지 않다. 때문에 구속조건 자체를 활용하여 극값을 구하는 방법이 필요한데 그 결과가 바로 Lagrange multiplier, 라그랑주 승수법이다. 2차원으로 한정지어서 생각해보자. 다음 그림과 같이 구속조건 $g(x, y) = c$ ($h(x, y) = g(x, y) - c$ $= 0$으로도 정의할 ..

Local Maximum and MinimumDefinition 1. Let $f(x, y)$ be defined on a region $R$ containing the point $(a, b)$. Then 1. $f(a, b)$ is a local maximum value of $f$ if $f(a, b) \geq f(x, y)$ for all domain points $(x, y)$ in an open disk centered at $(a, b)$. 2. $f(a, b)$ is a local minimum value of $f$ if $f(a, b) \leq f(x, y)$ for all domain points $(x, y)$ in an open disk centered at $(a, b)$. Si..

Tangent PlaneDefinition 1. The tangent plane to the level surface $f(x, y, z) = c$ of a differentiable function $f$ at a point $P_0$ where the gradient is not zero is the plane through $P_0$ normal to $\nabla f |_{P_0}$. The normal line of the surface at $P_0$ is the line through $P_0$ parallel to $\nabla f |_{P_0}$. 위와 같이 정의되는 tangent plane, 즉 접평면은 정의에 따라 다음과 같이 계산되고, normal line도 마찬가지다. $$\nab..

Directional DerivativeDefinition 1. The derivative of $f$ at $P_0 (x_0, y_0)$ in the direction of the unit vector $\mathbb{u} = u_1 \mathbb{i} + u_2 \mathbb{j}$ is the number $$\left( \frac{df}{ds} \right)_{\mathbb{u}, P_0} = \lim_{s \to 0} \frac{f(x_0 + su_1, y_0 + su_2) - f(x_0, y_0)}{s},$$ provided the limit exists. It is also denoted by $$D_{\mathbb{u}}f(P_0) \text{  or  } D_{\mathbb{u}}f \b..

Theorem 1Theorem 1. Suppose that $F(x, y)$ is differentiable and that the equation $F(x, y) = 0$ defines $y$ as a differentiable function of $x$. Then at any point where $\partial_y F \neq 0,$ $$\frac{dy}{dx} = - \frac{\partial_x F}{\partial_y F}.$$Proof. Since $F(x, y) = 0$, the derivative $\frac{dF}{dx}$ must be zero. By the Chain Rule, we find $$0 = \frac{dF}{dx} = \frac{\partial F}{\partial ..

Theorem 1Theorem 1. If $w=f(x, y)$ is differentiable and if $x = x(t), y=y(t)$ are differentiable functions of $t$, then the composition $w=f(x(t), y(t))$ is a differentiable function of $t$ and $$\frac{dw}{dt} = \frac{\partial f}{\partial x} \frac{dx}{dt} + \frac{\partial f}{\partial y} \frac{dy}{dt}.$$Proof. Let $\Delta x, \Delta y$ and $\Delta w$ be the increments that result from changing $t..

Partial DerivativeDefinition 1. The partial derivative of $f(x, y)$ with respect to $x$ at the point $(x_0, y_0)$ is $$\frac{\partial f}{\partial x} \Bigg|_{(x_0, y_0)} = \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0 + h, y_0) - f(x_0, y_0)}{h},$$ provided the limit exists. The partial derivative with respect to $y$ is defined in the same way.특정 변수를 상수로 취급하고 한 변수만 다룬다는 의미에서 편미분이라고 말한다. 기호로는 $\frac{\partial f}{\par..

Vector Fields and Scalar FunctionsDefinition 1. Let $D \subset \mathbb{R}^m$ for $m \in \mathbb{N}$. Then(1) A scalar function on a domain set $D$ is a function $f: D \rightarrow \mathbb{R}$. (2) A vector-valued function, or vector function, or vector field on $D$ is a function $\textbf{f}: D \rightarrow \mathbb{R}^n$ defined by $\textbf{f}(\textbf{x}) = (f_1(\textbf{x}), f_2(\textbf{x}), \cdots..