The General Exponential FunctionNatural exponential의 경우에 지수 법칙을 무리수로 확장해도 동일한 결과를 얻음을 보였다. 이제 밑을 일반적인 상수로 확장하자. Natural logarithm과 expoenetial은 inverse의 관계에 있기 때문에 identity $a = e^{\text{ln } a}$가 성립함을 보였다. 이로부터 $a^x = e^{x \text{ln } a}$임을 얻으므로, 이를 정의로 사용하는 것이 합당하다.Definition 1. For any numbers $a > 0$ and $x$, the exponential function with base $a$ is $$a^x = e^{x \text{ln } a}.$$이제 우리는 모든 실수에..

Natural Exponential FunctionNatural logarithm은 정의역에서 derivative가 항상 양수이므로 증가함수이다. 따라서 bijective이고 inverse를 갖는다. 이제 이 inverse funciton을 $\text{exp}$라고 표기하자. 즉 $\text{ln} x = y \Longleftrightarrow \text{exp } y = x$이다. 한편, 상수 $e$에 대해 $\text{ln} (e^x) = x$ ($x$ is rational)가 성립하고, 이는 $e^r = \text{exp } r$ ($r$ is rational)의 관계에 있음을 의미한다. 다시 말해 $y= e^x (x \in \mathbb{Q})$라고 함수를 정의한다면 $\text{exp } x ..

서술에 앞서, 앞으로 몇 개의 포스트는 모두 '무리수 지수'의 정의를 염두에 두고 작성됨을 밝힌다. 사실 고등학교 과정에서 우리가 알고 있는 지수법칙은 지수가 유리수인 경우에만 증명되었다. 무리수인 경우에는 전체 값이 어떤 수로 수렴함이 알려져 있다고만 서술되어 있는데, 이렇게 수렴성을 사용하여 지수법칙을 무리수로 확장하려면 해석학의 지식을 동원해야만 가능하다. 따라서 많은 미적분학 교과서에서는 해석학을 사용하지 않고 확장하는 방법을 선택하고 있고, 그 방법 중 하나를 바로 앞으로의 포스트에서 소개할 것이다. 이 방법은 자연 로그를 정적분으로 정의하는 것으로부터 시작한다.Natural LogarithmDefinition 1. The natural logarithm is the function given ..

Arc Length면적이나 부피와 마찬가지로 partition의 norm이 0으로 가는 극한을 취하기 위해 주어진 구간을 잘게 쪼갠다. 각 구간의 양 끝점을 잇는 line segments의 길이를 구하여 $$\sum_{k=1}^n \sqrt{(\Delta x_k)^2 + (\Delta y_k)^2}$$와 같이 합을 취해주자. ($\Delta x_k = x_k - x_{k-1}, \Delta y_k = f(x_k) - f(x_{k-1})$) 이때 Mean Value Theorem에 의해 $\Delta y_k = f'(c_k) \Delta x_k$를 만족하는 $c_k$가 $(x_{k-1}, x_k)$에 존재한다. 따라서 위 합을 Riemann sum으로 표현한 뒤 극한을 취하면 우리가 원하는 definite..

Solid의 volume을 definite integral을 이용해 구할 수 있다. 주어진 solid가 어떤 모양인지에 따라 쉽게 계산할 수 있는 여러 가지 방법이 있다. 먼저 Cross-section, 다시 말해 단면을 이용해 solid의 부피를 구하는 방법을 알아보자. 우선 definite integral에서 면적의 넓이를 구간을 잘게 쪼개 partition의 norm이 0으로 가는 극한을 취하여 얻었듯이, volume도 마찬가지로 norm이 0으로 가게 구간을 잘게 짜르고, 이 subinterval의 길이가 축에 perpendicular하게 cross-section으로 자른 slab의 각각의 높이가 된다. 여기에 cross-section의 면적을 곱한 값의 Riemann sum이 수렴하는 값이 바로..

Chain RuleTheorem 1. If $f(u)$ is differentiable at the point $u = g(x)$ and $g(x)$ is differentiable at $x$, then the composite function $(f \circ g)(x) = f(g(x))$ is differentiable at $x$, and $$(f \circ g)'(x) = f'(g(x)) \cdot g'(x).$$ In Leibniz's notation, if $y = f(u)$ and $u = g(x)$, then $$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx},$$ where $dy / du$ is evaluated at $u = g(x)$.Pro..

Intermediate Value TheoremTheorem 1. If $f$ is a continuous function on a closed interval $[a, b]$, and if $k$ is any value between $f(a)$ and $f(b)$, then $k = f(c)$ for some $c$ in $[a, b]$.

Average value of a FunctionDefinition 1. If $f$ is integrable on $[a, b]$, then its average value on $[a, b]$ which is also called its mean, is $$\text{av}(f) = \frac{1}{b-a} \int_a^b f(x) dx.$$Mean Value Theorem for Definite IntegralsTheorem 1. If $f$ is continuous on $[a, b]$, then at some point $c$ in $[a, b]$, $$f(c) = \frac{1}{b-a} \int_{a}^{b} f(x) dx.$$Proof. By the property (6) of defini..

Partition Definition 1. For a closed interval $[a, b]$, we subdivide the interval into subintervals, not necessarily of equal widths, as choosing $n-1$ points $\{ x_1, ..., x_{n-1} \}$ between $a$ and $b$ that are in increasing order, so that $x_0 = a partition of $[a, b]$. And we denote the width of the $k$th subinterval by $\Delta x_k$ which means that $\Delta x_k = x_k - x_{k-1}$. Norm of a P..

Rolle's TheoremTheorem 1. Let $f$ be a function that satisfies the following conditions:(1) $f$ is continuous on $[a, b]$.(2) $f$ is differentiable on $(a, b)$(3) $f(a) = f(b)$Then there is a number $c \in (a, b)$ such that $f'(c) = 0$.Proof. We may think of three cases. (1) If $f(x) = k$ for any constant $k$, then $c$ can be taken to be any number in $(a, b)$.(2) If $f(x) > f(a), \forall x \in ..