Mathematics

Polar Coordinates좌표평면 상의 점들을 $x, y$축으로 나타내는 cartesian coordinates와는 달리 원점으로부터의 거리 $r$과 initial ray, 즉 시초선으로부터의 각도 $\theta$로 나타내는 좌표계를 polar coordinates, 극 좌표계라고 부른다.주기성으로 인해 극 좌표계 위의 임의의 한 점을 표현하는 좌표는 무수히 많을 수 있다. 예컨대 $P(2, 6 / \pi)$를 나타내는 점은 $$(2, \frac{\pi}{6} + 2n\pi) \quad \text{  or  } \quad (-2, - \frac{5 \pi}{6} + 2n\pi) (n = -, \pm 1, \pm 2, ...)$$ 으로 무수히 많다.  데카르트 좌표계와 극 좌표계는 서로 자유롭게 변환될..

Green's TheoremTheorem 1. Let $C$ be a piecewise smooth, simple closed curve enclosing a region $R$ in the plane. Let $\mathbf{F}(x, y) = \langle M(x, y), N(x, y) \rangle$ be a vector field with $M$ and $N$ having continuous first partial derivatives in an open region containing $R$. Then the counterclockwise circulation of $\mathbf{F}$ around $C$ equals the double integral of $(\nabla \times \m..

Curl물과 같은 유체가 어떤 평면 위에서 흐르고 있는 물리적인 상황을 상상해보자. 이때 위치에 따른 유체의 속도를 나타내는 벡터장을 $\mathbf{F}(x, y)$라고 하자. 이때 평면 상의 어떤 점에서 유체가 어느 방향으로 얼마나 회전하고 있는지 그 정도를 나타내는 물리량을 측정하려고 한다. 우선 다음과 같이 주어진 작은 rectangular region $A$를 고려하자.$A$는 임의의 점 $(x, y)$를 꼭짓점으로 하고 각 변의 길이를 $\Delta x, \Delta y$로 갖는다. 구하고자 하는 물리량은 면적의 테두리와 counterclockwise한 방향을 갖는 사각형 모양 closed curve에서의 circulation으로부터 얻을 수 있다고 생각할 수 있다. 따라서 circulatio..

Simply Connected RegionDefinition 1. Let $D$ be an open region. (1) $D$ is connected if any two points in $D$ can be joined by a smooth curve that lies in the region.(2) $D$ is simply connected if every loop in $D$ can be contracted to a point in $D$ without every leaving $D$.말 그대로, 영역 $D$ 안에 임의의 두 점이 그 영역 안에 포함된 곡선에 의해 연결될 수 있다면 $D$는 connected region이다. 만약 $D$가 겹치치 않는 두 disk이고 각 disk에서 한 점씩 뽑아보..

Fundamental Theorem of Line IntegralTheorem 1. Let $C$ be a smooth curve joining the point $A$ to the point $B$ in the plane or in space and parametrized by $\mathbf{r}(t)$. Let $f$ be a differentiable function with a continuous gradient vector $\mathbf{F} = \nabla f$ on a domain $D$ containing $C$. Then $$\int_C \mathbf{F} \cdot d \mathbf{r} = f(B) - f(A).$$ Proof. Suppose that $\mathbf{r}(t) = ..

Path IndependenceDefinition 1. Let $\mathbf{F}$ be a vector field defined on an open region $D$ in space, and suppose that for any two points $A$ and $B$ in $D$ the line integral $\int_C \mathbf{F} \cdot d \mathbf{r}$ along a path $C$ from $A$ to $B$ in $D$ is the same over all paths from $A$ to $B$. Then the integral $\int_C \mathbf{F} \cdot d \mathbf{r}$ is path independent in $D$ and the fiel..

CirculationDefinition 1. If $\mathbf{r}(t)$ parametrizes a smooth curve $C$ in the domain of a continuous velocity field $\mathbf{F}$, the flow along the curve from $A = \mathbf{r}(a)$ to $B = \mathbf{r}(b)$ is $$\int_C \mathbf{F} \cdot d \mathbf{r}.$$ If the curve starts and ends at the same point, so that $A = B$, the flow is called the circulation around the curve.$A = B$인 경우, 즉 $$\oint_C \ma..

Directional derivative를 도입하여 미분의 방향을 굳이 $x, y$축으로 한정할 필요가 없었듯이, 적분 또한 $x, y, z$에 대해서만이 아니라 일반적인 곡선 위에서 정의할 수 있다. 함수 $f(x, y)$가 $\mathbb{r}(t) = \langle x(t), y(t) \rangle (a \leq t \leq b)$ 위에서 정의된다고 하자. 늘 그래왔던 것처럼 $C$를 $n$조각으로 짤라 partition을 구성하고, 각 piece의 길이를 $\Delta s_k$라 하자. 각 piece에서 임의로 point들을 추출하여 Riemann sum을 구성하면  $$\sum_{k=1}^n f(x_k, y_k) \Delta s_k$$ 이고, $n$의 크기를 무한히 증가시킬 때 partition의 ..

Double integral에서 substitution rule을 다뤄보자. 기존에 $xy$ 평면에서 나타내진 함수 $f(x, y)$를 $uv$ 평면에서 나타내고자 한다. Single variable에서 $x=g(u)$로 두면 $dx = g'(u) du$가 성립했었다. 즉 $x$에서 $u$로 변수를 바꾸기 위해서는 일종의 '보정 상수'의 역할을 하는 $g'(u)$와 같은 것이 double integral에서도 존재할 것이라 예측할 수 있다. 실제로 그러한 factor가 존재하고 Jacobian이라고 부른다.JacobianDefinition 1. The Jacobian determinant or Jacobian of the coordinate transformation $x = g(u, v), y = h(..

[네냐플 님의 블로그 포스트를 참고해서 작성하였습니다.]ProblemProblem. $E = \{ (x, y, z) \in \mathbb{R}^3 \, | \, x^2 + y^2 +z^2 \leq 1 \}$일 때, $$\iiint_E \lfloor x + y+ z \rfloor dV$$ 의 값을 구하시오. (단, $\lfloor x \rfloor$는 $x$를 넘지 않는 최대의 정수이다.)Solution$E$는 반지름이 1이며 경계면을 포함하여 속이 꽉 찬 ball이다. $\lfloor x + y + z \rfloor$을 direct하게 적분하기란 쉽지 않다. 최대 정수 함수는 정수만을 값으로 가지므로, 주어진 영역 $E$ 안에서 $\lfloor x + y + z \rfloor$이 정수 중에서 어떤 값을 가..