The nullity and rankDefinition 26. Let $T \in \mathcal{L}(V, W)$. If $N(T)$ and $R(T)$ are finite-dimensional, then we define (1) the nullity of $T$, denoted nullity($T$) := dim($N(T)$), (2) the rank of $T$, denoted rank($T$) := dim($R(T)$).$N(I_V) = \{\mathbf{0}\}, R(I_V) = V$, 그리고 $N(T_0) = V, R(T_0) = \{\mathbf{0}\}$ 임을 생각해 볼 때, 직관적으로 nullity가 클수록 rank는 작아지고, 역으로 nullity가 작을수록 rank는 커진다는 것을 눈..

The null space and rangeDefinition 25. Let $T \in \mathcal{L}(V, W)$.(a) The null space (or kernel) $N(T)$ of $T$ is the set $N(T) = \{ x \in V \,|\, T(x) = \mathbf{0} \}.$(b) The range (or image) $R(T)$ of $T$ is the set $R(T) = \{ T(x) \in W \,|\, x \in V \}$. Theorem 23Theorem 23. Let $T \in \mathcal{L}(V, W)$. Then $N(T) \leq V$ and $R(T) \leq W$.Proof. Clearly, $N(T), R(T) \neq \emptyset$. ..

Linear TransformationDefinition 20. Let $V, W$ be vector spaces over $F$. We call a function $T : V \rightarrow W$ a linear transformation from $V$ to $W$ if the following conditions are satisfied:(a) $T(x + y) = T(x) + T(y), \forall x, y \in V$,(b) $T(cx) = cT(x), \forall x \in V$ and $c \in F$. We often simply call $T$ linear.Linear OperaterDefinition 21. We call $T$ a linear operator on $V$ i..

MatrixDefinition 14.(a) An $m \times n$ matrix $A$ with entries from a field $F$ is a rectangular array of the form$$A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{bmatrix}$$ where each entry $a_{ij}\, (1 \leq i \leq m, 1 \leq j \leq n)$ is an element of $F$. The number $a_{ij}$ is..

MaximalDefinition 11. Let $\mathcal{F}$ be a family of sets. A member $M$ of $\mathcal{F}$ is called maximal if $M$ is contained in no member of $\mathcal{F}$ other than $M$ itself.말 그대로 포함 관계에 있어서 가장 최상위에 있는 원소를 maximal 이라고 한다. 예컨대 어떤 집합의 power set에서 그 집합은 자명하게 maximal element 이다. ChainDefinition 12. A collection of sets $\mathcal{C}$ is called a chain (or nest or tower) if for each pair of set..

BasisDefinition 9. A basis $\beta$ for $V$ is a linearly independent subset of $V$ such that = $V$. generating set은 해당 벡터 공간의 정보를 알려주는 집합이고, 이때 최대한 그 크기를 줄인 집합이 linearly independent set이었다. 즉 두 조건을 모두 만족시키는 집합이야말로 벡터 공간을 다루기에 가장 좋은 집합이므로 basis, 즉 기저라는 이름으로 정의한다.RemarkRemark.(a) A basis can be infinite.(b) Since $\langle \emptyset \rangle$ = $\{\mathbf{0}\}$ and $\emptyset$ is linearly indepe..

GenerateDefinition 7. Let $S$ be a subset of a vector space $V$. We say that $S$ generates (or spans) $V$ if $\langle S \rangle$ = $V$. 어떤 벡터 공간 $V$에 대해서 이를 생성하는 집합을 알 수 있다면 $V$를 다루는 것이 훨씬 수월해진다. 굳이 전체 공간인 $V$를 다룰 필요 없이 훨씬 더 작은 크기의 집합을 가지고 $V$를 표현할 수 있기 때문이다. 이때 이러한 generating set은 여러 개가 존재할 수 있기에 그중에서도 가장 크기가 작은 집합을 고르는 것이 자연스럽다. 예컨대 어떤 generating set 안의 한 벡터가 그 집합의 다른 벡터들의 linear combinati..

Linear combinationDefinition 5. Let $V$ be a vector space and let $v_1, ..., v_n$ be vectors of $V$. A vector $v \in V$ is called a linear combination of vectors of $v_1, ..., v_n$ if $v = a_1v_1 + \cdots + a_nv_n$ for some $a_1, ..., a_n \in F$. 임의의 스칼라 $a$에 대해서 $\mathbf{0} = a\mathbf{0}$이기 때문에 zero vector는 항상 zero vector와 다른 임의의 벡터들의 선형 결합이다.SpanDefinition 6. Let $S$ be a nonempty subset of a ..

SubspaceDefinition 2. Let $V$ be a vector space over $F$. A subset $W$ of $V$ is called a subspace of $V$ if $W$ is a vector space over $F$ with the same operations defined on $V$. If $W$ is a subspace of $V$, we denote $W \leq V$. 즉 벡터공간 $V$와 동일한 field와 연산을 가진, 다시 말해 동일한 대수적 구조를 가지면서 크기만 줄인 $V$의 부분집합을 $V$의 subspace, 즉 부분공간이라고 부른다. 자명하게 벡터 공간 $V$는 자신의 부분공간이고, 오직 zero vector만 들어 있는 집합 $\{ \mathbf..

Vector spaceDefinition 1. A vector space $V$ over a field $F$ consists of a nonempty set on which two binary operations $+: V \times V \to V$ and $\cdot : F \times V \to V$ (called addition and scalar multiplication, respectively) are defined such that the following conditions hold:(1) $x + y = y + x, \forall x, y \in V$,(2) $(x+y)+z=x+(y+z), \forall x, y, z \in V$,(3) $\exists \,\mathbf{0} \in ..