부피가 $V$로 고정된 어떤 box안에 $N$개의 particle들이 들어있다. 각 particle은 독립적으로 거동하며 ideal gas을 가정한다. 이때 가상적으로 $V'$의 볼륨을 가지는 mini box를 만들자. 입자들은 자유롭게 box안을 드나들 수 있고, $V'$의 부피를 가지는 영역에 있을 수도 있고, 그 밖에 있을 수도 있다. 이때 $N$개의 particle들이 모두 이 mini box 안에 들어있을 확률은 얼마일까?  자명하게 $\frac{V'}{V}$이다. 그렇다면 $k$개의 입자가 $V'$ 상자에 들어있을 확률은 무엇일까? 각각은 mini box에 들어있냐, 들어있지 않냐의 결괏값을 가지므로 binomial distribution으로 생각할 수 있고, 그 확률은 $$\binom{N}{..

[을유 문화사에서 도서를 제공받아 작성한 글입니다.] 나는 고등학교 시절 수학이 너무나 싫어서 수학과에 진학했다. 고등학교 수학 교과서는 대부분의 경우 어떠한 수학적 사실을 증명 없이 소개한 뒤 곧바로 이를 적용하는 문제를 풀게 한다. 나는 이런 교과서의 서술 방식이 매우 마음에 들지 않았다. 물론 거대한 지식의 바다 앞에서 지적 유아에 가까운 한낱 고등학생에게 엄-밀한 증명을 들이밀기가 쉽지 않은 형편도 알고 있지만, 그럼에도 불구하고 현 교과서는 학생들에게 직관적으로라도 이해시키려는 일말의 노력조차 그 흔적을 찾을 수 없다. 또한 현실을 모델링하여 직접 문제를 탐구하고 해결하려는 방향의 교육은 전무하다고 해도 과언이 아니다. 대부분의 자연과학, 공학 분야에서 수학을 이용하는 방식이 모델링과 수치적으로..

Random Walk금요일 저녁, 오늘도 대학가는 한 주간의 노고를 달래기 위해 몰려온 대학생들로 가득하다. 이때 잔뜩 취한 듯한 우리의 관측 대상이 한 가게에서 발견되었다! 관측 대상은 종잡을 수 없는 움직임으로 비틀대며 길가를 활보한다. 이때 일정 시간이 지나고 특정 지점에 우리의 관측 대상이 발견될 확률은 얼마나 될까?  가게의 위치를 원점으로 잡고, 관측 대상은 원점에서 출발해 $x$축 위에서 움직인다고 하자. 우리는 $x$축을 discretize하여서 단위 길이를 $l$로 둘 것이다. 즉 관측 대상은 '한 번' 움직일 때 $l$만큼 이동할 수 있다. 그리고 관측 대상은 $-l$만큼 움직일 것인지, $+l$만큼 움직일 것인지 반반의 확률로 판단을 한다고 가정하자. 즉 각 case를 선택할 확률은 ..

Definition 1. Let $A \in M_{n}(F)$. Then we define$$e^A = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!} A^n, \\ \sin(A) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n+1)!} A^{2n+1}, \\ \cos(A) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n)!} A^{2n}.$$

두 행렬 $A, B \in M_{2}(\mathbb{R})$을 가져오자. 이때 $$A \otimes B = \begin{pmatrix} A_{11}B & A_{12} B \\ A_{21} B & A_{22} B \end{pmatrix}$$와 같이 정의되는 연산 $\otimes$를 direct product라고 부른다. 즉 위 예시에서 두 행렬의 direct 곱의 결과값은 $4 \times 4$ 행렬이다.

Invertible $n \times n$ matrix $A$의 determinant는 어떤 $i$에 대해 다음과 같이 주어진다. $$\det(A) = \sum_{j=1}^n (-1)^{i+j} A_{ij} \det(\widetilde{A_{ij}})$$ 각 $A_{ij}$를 variable로 선언한다면 $\det(A)$는 $A_{ij}$들로 이루어진 함수다. $x$를 $A_{ij}$들에 dependent하는 어떤 변수라고 한다면 $\det(A)$를 $x$에 대해 미분한 결과는 chain rule과 components of the inverse of a matrix를 구하는 공식에 의해 다음과 같이 얻어진다. $$\frac{d \det(A)}{dx} = \sum_{i, j} \frac{\partial \..

우리는 주어진 곡선 $C$가 얼마나 휘어있는지를 측정하고자 한다. 직관적으로 생각해보면 같은 원이라고 하더라도 반지름이 클수록 원은 국소적으로 덜 휘어있고, 반지름이 작을수록 더 휘어있다고 말할 수 있다. 그렇다면 이러한 곡선의 휜 정도를 나타내는 값, 즉 곡률을 어떤 곡선의 방정식이 주어졌을 때 어떤 방식으로 정의할 수 있을까? 한 가지 떠올릴 수 있는 방법은 tangent vector를 이용한 방법이다. 곡선의 tangent vector, 즉 속도는 곡선의 진행 방향과 평행한 접선 벡터인데, 곡선이 많이 휘어있다면 이동경로가 많이 뒤틀린다는 뜻이고 그만큼 tangent vector의 변화량이 크다는 뜻이다. 이는 곡률을 tangent vector의 변화량으로 측정할 수 있음을 시사한다. 이 값은 물리..

CommutatorDefinition 1. Let $A$ and $B$ be the square matrices with the same size. The commutator $[A, B]$ of $A$ and $B$ is defined by $[A, B] = AB - BA$.

PermutationDefinition 1. A permutation of a set $A$ is a function $\phi : A \rightarrow A$ that is bijective. Remark. Let denote the function composition $\sigma \circ \tau$ for permutations $\sigma$, $\tau$ by $\sigma \tau$. Then $\sigma \tau$ is bijective.임의의 자연수 $n$에 대해 집합 $A = \{ 1, 2, ..., n \}$가 주어져 있다. 이때 $A$의 permutation, 즉 치환은 각 자연수를 다른 자연수로 보내는 작용을 하는 함수이며, 한마디로 순서를 바꿔주는 함수이다. Symmetri..

GroupDefinition 1. A group $\langle G, \ast \rangle$ is a set $G$, closed under a binary operation $\ast$, such that the following axioms are satisfied:(1) $\forall a, b, c \in G$, $(a \ast b) \ast c = a \ast (b \ast c)$(2) $\exists e \in G$ such that $\forall x \in G$, $e \ast x = x \ast e = x$(3) $\forall a \in G$, $\exists a' \in G$ such that $a \ast a' = a' \ast a = e$.