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Stokes's Theorem Theorem 1. Let $S$ be a piecewise smooth oriented surface having a piecewise smooth boundary curve $C$. Let $\mathbf{F} = \langle M, N, P \rangle$ be a vector field whose components have continuous first partial derivatives on an open region containing $S$. Then the circulation of $\mathbf{F}$ around $\mathbf{C}$ in the direction counterclockwise with respect to the surface’s un..

Surface Integral of Scalar FunctionsLine integral이 임의의 곡선 위에서 함수를 적분하는 것이었다면, 이를 확장하여 임의의 surface 위에서 함수를 적분해보자. Scalar function $G(x, y, z)$와 smooth한 곡면 $S$가 있을 때, $S$는 $uv$ 평면의 region $R$에서 좌표 공간으로의 transformation인 $\mathbf{r}(u, v) = \langle f(u, v), g(u, v), h(u, v) \rangle$에 의해 parametrization된다. $S$의 area를 구했을 때와 같이, $R$을 잘게 쪼갠 piece에 대응되는 $S$ 위의 patch의 넓이를 $\Delta \sigma_{uv}$라고 하면 tangen..

Parametrization of SurfacesDefinition 1. Suppose $\mathbf{r}(u, v) = \langle f(u, v), g(u, v), h(u, v) \rangle$ is a continuous vector function that is defined on a region $R$ in the $uv$-plane and one-to-one on the interior of $R$. We call the range of $\mathbf{r}$ the surface $S$ defined or traced by $\mathbf{r}$. The vector function together with the domain $R$ constitutes a parametrization o..

Spherical CoordinatesDefinition 1. Spherical coordinates represent a point $P$ in space by ordered triples $(r, \theta, \phi)$ in which $r \geq 0$ and $0 \leq \phi \leq \pi$.위 그림과는 다른 기호를 사용하였다. $r$은 원점에서부터의 거리, $\theta$는 원점과 점 $P$를 이은 선분과 $z$ 축이 이루는 각도, $\phi$는 cylindrical coordinates에서와 동일하게 $x$ 축과 선분 $OP$를 $xy$ 평면에 정사영한 선분이 이루는 각도이다.  마찬가지로 구 좌표계는 cartesian coordinates와 자유롭게 변환이 가능하다. $(x, y,..

Cylindrical CoordinatesDefinition 1. Cylindrical coordinates represent a point $P$ in space by ordered triples $(\rho, \phi, z)$ in which $r \geq 0$. 단순히 polar coordinates에다가 $z$ 성분만 추가한 3차원 좌표계이다. 위 그림에는 $(r, \theta, z)$로 나타냈지만 생새우초밥집 저자의 주장을 받아들여 $(\rho, \phi, z)$로 쓰도록 하자.  원통 좌표계는 좌표공간에서 cartesian coordinates과 자유롭게 변환할 수 있다. $(x, y, z)$는 $(\rho \cos \phi, \rho \sin \phi, z)$로 바꿀 수 있으며, 반대로 $(..

Polar Coordinates좌표평면 상의 점들을 $x, y$축으로 나타내는 cartesian coordinates와는 달리 원점으로부터의 거리 $r$과 initial ray, 즉 시초선으로부터의 각도 $\theta$로 나타내는 좌표계를 polar coordinates, 극 좌표계라고 부른다.주기성으로 인해 극 좌표계 위의 임의의 한 점을 표현하는 좌표는 무수히 많을 수 있다. 예컨대 $P(2, 6 / \pi)$를 나타내는 점은 $$(2, \frac{\pi}{6} + 2n\pi) \quad \text{  or  } \quad (-2, - \frac{5 \pi}{6} + 2n\pi) (n = -, \pm 1, \pm 2, ...)$$ 으로 무수히 많다.  데카르트 좌표계와 극 좌표계는 서로 자유롭게 변환될..

Green's TheoremTheorem 1. Let $C$ be a piecewise smooth, simple closed curve enclosing a region $R$ in the plane. Let $\mathbf{F}(x, y) = \langle M(x, y), N(x, y) \rangle$ be a vector field with $M$ and $N$ having continuous first partial derivatives in an open region containing $R$. Then the counterclockwise circulation of $\mathbf{F}$ around $C$ equals the double integral of $(\nabla \times \m..

Curl물과 같은 유체가 어떤 평면 위에서 흐르고 있는 물리적인 상황을 상상해보자. 이때 위치에 따른 유체의 속도를 나타내는 벡터장을 $\mathbf{F}(x, y)$라고 하자. 이때 평면 상의 어떤 점에서 유체가 어느 방향으로 얼마나 회전하고 있는지 그 정도를 나타내는 물리량을 측정하려고 한다. 우선 다음과 같이 주어진 작은 rectangular region $A$를 고려하자.$A$는 임의의 점 $(x, y)$를 꼭짓점으로 하고 각 변의 길이를 $\Delta x, \Delta y$로 갖는다. 구하고자 하는 물리량은 면적의 테두리와 counterclockwise한 방향을 갖는 사각형 모양 closed curve에서의 circulation으로부터 얻을 수 있다고 생각할 수 있다. 따라서 circulatio..

Simply Connected RegionDefinition 1. Let $D$ be an open region. (1) $D$ is connected if any two points in $D$ can be joined by a smooth curve that lies in the region.(2) $D$ is simply connected if every loop in $D$ can be contracted to a point in $D$ without every leaving $D$.말 그대로, 영역 $D$ 안에 임의의 두 점이 그 영역 안에 포함된 곡선에 의해 연결될 수 있다면 $D$는 connected region이다. 만약 $D$가 겹치치 않는 두 disk이고 각 disk에서 한 점씩 뽑아보..

Fundamental Theorem of Line IntegralTheorem 1. Let $C$ be a smooth curve joining the point $A$ to the point $B$ in the plane or in space and parametrized by $\mathbf{r}(t)$. Let $f$ be a differentiable function with a continuous gradient vector $\mathbf{F} = \nabla f$ on a domain $D$ containing $C$. Then $$\int_C \mathbf{F} \cdot d \mathbf{r} = f(B) - f(A).$$ Proof. Suppose that $\mathbf{r}(t) = ..