Substitution in Multiple Integral
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Mathematics/Calculus
Double integral에서 substitution rule을 다뤄보자. 기존에 xy 평면에서 나타내진 함수 f(x,y)uv 평면에서 나타내고자 한다. Single variable에서 x=g(u)로 두면 dx=g(u)du가 성립했었다. 즉 x에서 u로 변수를 바꾸기 위해서는 일종의 '보정 상수'의 역할을 하는 g(u)와 같은 것이 double integral에서도 존재할 것이라 예측할 수 있다. 실제로 그러한 factor가 존재하고 Jacobian이라고 부른다.JacobianDefinition 1. The Jacobian determinant or Jacobian of the coordinate transformation $x = g(u, v), y = h(..
최대 정수 함수와 삼중적분
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Mathematics/Problems
[네냐플 님의 블로그 포스트를 참고해서 작성하였습니다.]ProblemProblem. E={(x,y,z)R3|x2+y2+z21}일 때, Ex+y+zdV의 값을 구하시오. (단, xx를 넘지 않는 최대의 정수이다.)SolutionE는 반지름이 1이며 경계면을 포함하여 속이 꽉 찬 ball이다. x+y+z을 direct하게 적분하기란 쉽지 않다. 최대 정수 함수는 정수만을 값으로 가지므로, 주어진 영역 E 안에서 x+y+z이 정수 중에서 어떤 값을 가..
Triple Integral
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Mathematics/Calculus
Triple Integral일변수 함수의 definite integral, double integral과 다를 바 없다. 마찬가지로 rectangular region D를 (box 형태가 된다) x,y,z 축으로 잘게 쪼개 partition을 구성하고 가장 작은 모서리를 norm으로 정의한 뒤 함수 F(x,y,z)의 Riemann sum을 정의한다. 이때 k번째 부피 조각은 ΔVk=ΔxkΔykΔzk가 된다. 그리고 norm이 0으로 가는 극한을 취해준 뒤 partition과 point에 무관하게 극한값이 존재하면 integrable하다고 말하고, DF(x,y,z)dV라고 쓴다.  마찬가지로 reg..
Wallis's Integral
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Mathematics/Calculus
Wallis's Integral(1)In=0π2sinnxdx=n1nIn2(2)Im=0π2cosmxdx=m1mIm2.공부하다보면 구간이 0부터 π2까지 일 때 sin,cos의 거듭제곱을 적분해야 하는 상황이 의외로 자주 발생한다. 이때 이 값을 매번 구하려면 귀찮으므로, Wallis's Integral, 월리스 적분이라고 불리는 공식을 사용하도록 하자.  유도 과정은 Integration by parts를 사용하여 다..
Double Integral and Fubini's Theorem
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Mathematics/Calculus
Double IntegralTwo-variable function의 definite ingetral을 다뤄보자. Single variable에서 정의한 definite integral과 별반 다를 건 없다. 다만 변수가 두 개가 되었으므로 partition이라든지, norm이라든지 하는 대상을 조금 확장하여서 정의하고 이를 기반으로 Riemann sum과 그 극한으로 double integral을 정의한다. 함수 z=f(x,y)가 있다. 일변수에서는 interval을 잘게 쪼갰다면, 이제는 rectangular region을 x,y축으로 잘게 쪼갠다. 이렇게 잘게 쪼갠 piece들은 어떻게든 numbering하여 모은 집합을 partition P이라고 하고, 이 piece들의 가로, 세..
Lagrange Multiplier
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Mathematics/Calculus
Introduction 다변수함수의 극값을 찾기 위한 방법 중 하나로 second derivative test가 있었다. 그런데 만약 함수의 domain이 명시적으로 주어진 것이 아닌, 예컨대 어떤 방정식 g(x,y,z)=0으로 표현되는 "구속조건(constraint)"으로 주어진다면 test를 적용하기가 쉽지 않다. 물론 어찌어찌 parametrize하여 명시적으로 구할 수도 있겠지만, 대게 쉽지 않다. 때문에 구속조건 자체를 활용하여 극값을 구하는 방법이 필요한데 그 결과가 바로 Lagrange multiplier, 라그랑주 승수법이다. 2차원으로 한정지어서 생각해보자. 다음 그림과 같이 구속조건 g(x,y)=c (h(x,y)=g(x,y)c =0으로도 정의할 ..
Extreme Values and Saddle Points
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Mathematics/Calculus
Local Maximum and MinimumDefinition 1. Let f(x,y) be defined on a region R containing the point (a,b). Then 1. f(a,b) is a local maximum value of f if f(a,b)f(x,y) for all domain points (x,y) in an open disk centered at (a,b). 2. f(a,b) is a local minimum value of f if f(a,b)f(x,y) for all domain points (x,y) in an open disk centered at (a,b). Si..
Tangent Plane
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Mathematics/Calculus
Tangent PlaneDefinition 1. The tangent plane to the level surface f(x,y,z)=c of a differentiable function f at a point P0 where the gradient is not zero is the plane through P0 normal to f|P0. The normal line of the surface at P0 is the line through P0 parallel to f|P0. 위와 같이 정의되는 tangent plane, 즉 접평면은 정의에 따라 다음과 같이 계산되고, normal line도 마찬가지다. $$\nab..
Directional Derivative and Gradient
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Mathematics/Calculus
Directional DerivativeDefinition 1. The derivative of f at P0(x0,y0) in the direction of the unit vector u=u1i+u2j is the number (dfds)u,P0=lims0f(x0+su1,y0+su2)f(x0,y0)s, provided the limit exists. It is also denoted by $$D_{\mathbb{u}}f(P_0) \text{  or  } D_{\mathbb{u}}f \b..
Implicit Differentiation
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Mathematics/Calculus
Theorem 1Theorem 1. Suppose that F(x,y) is differentiable and that the equation F(x,y)=0 defines y as a differentiable function of x. Then at any point where yF0, dydx=xFyF.Proof. Since F(x,y)=0, the derivative dFdx must be zero. By the Chain Rule, we find $$0 = \frac{dF}{dx} = \frac{\partial F}{\partial ..